東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

4回目に初めて赤玉が取り出されるには，最初の3回が青玉で，4回目が赤玉であればよい。よって $${\displaystyle \frac{7}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。

(2)

10回の取り出し位置のうち，赤玉3個が現れる位置だけに注目する。赤玉3個の位置は全体で ${}_{10}{\mathrm{C}}_3$ 通りあり，どれも同様に確からしい。8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されているためには，赤玉3個の位置がすべて1回目から8回目までに入っていればよい。したがって $${\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_3}{{}_{10}{\mathrm{C}}_3}}={\displaystyle \frac{7}{15}}$$ である。

(3)

赤玉がちょうど8回目ですべて取り出されるとは，8回目が3個目の赤玉であるということである。したがって8回目を赤玉の位置として固定し，残り2個の赤玉の位置を1回目から7回目までの中から選べばよい。よって $${\displaystyle \frac{{}_7{\mathrm{C}}_2}{{}_{10}{\mathrm{C}}_3}}={\displaystyle \frac{7}{40}}$$ である。

(4)

4回目までに取り出されている赤玉の個数を$X$とする。$j$回目に赤玉が出たとき1，そうでないとき0をとる変数を$X_j$とすると $X=X_1+X_2+X_3+X_4$ である。各回について，その位置に赤玉が来る確率は ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ である。したがって期待値の加法性より $$E(X)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)=4\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$$ である。

4回までに出る赤玉の個数を $X$ とし，赤玉3個・青玉7個から4個を選ぶ超幾何型の分布を直接作る．期待値の加法性を使わない検算にもなる．

$X$ を4回目までに取り出した赤玉の個数とする．$X=k$ となるのは，赤玉3個から $k$ 個，青玉7個から $4-k$ 個を選ぶ場合だから$$\mathrm{Pr}(X=k)={\displaystyle \frac{{}_3{\mathrm{C}}_k{}_7{\mathrm{C}}_{4-k}}{{}_{10}{\mathrm{C}}_4}}(k=0,1,2,3)$$である．したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X)}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^{3}k\mathrm{Pr}(X=k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1\cdot {}_3{\mathrm{C}}_1{}_7{\mathrm{C}}_3+2\cdot {}_3{\mathrm{C}}_2{}_7{\mathrm{C}}_2+3\cdot {}_3{\mathrm{C}}_3{}_7{\mathrm{C}}_1}{{}_{10}{\mathrm{C}}_4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{252}{210}}={\displaystyle \frac{6}{5}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって(4)の期待値は ${\displaystyle \frac{6}{5}}$ である．