東北大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

5桁の各位は，それぞれ独立に $1,2,3,4$ の4通りをとる。したがって，起こり得る5桁の並びは全部で $4^5$ 通りであり，いずれも同様に確からしい。

(1)
数字1がちょうど2回現れるには，まず数字1が入る2つの位を選ぶ。これは ${}_5{\mathrm{C}}_2$ 通りである。残り3つの位には，数字1以外の $2,3,4$ のいずれかが入るので，各位について3通りである。

したがって求める確率は$$\frac{{}_5{\mathrm{C}}_2{3}^3}{4^5}=\frac{10\cdot 27}{1024}=\frac{135}{512}$$である。

(2)
数字1と数字2がちょうど1回ずつ現れる場合を数える。数字1の位置は5通り，数字2の位置は残り4通りである。残り3つの位には，数字1,2は使えないので，数字3または4の2通りずつが入る。

したがって求める確率は $${\displaystyle \frac{5\cdot 4\cdot 2^3}{4^5}}={\displaystyle \frac{160}{1024}}={\displaystyle \frac{5}{32}}$$ である。

(3)
余事象を数える。すなわち，どの数字も「ちょうど2回」は現れない場合を数える。5個の位に4種類の数字が入るので，出現回数の型を考えると，2を含まない型は $(5,0,0,0),(4,1,0,0),(3,1,1,0)$ に限られる。

型 $(5,0,0,0)$ の場合は，5回現れる数字を選ぶだけなので $4$ 通りである。

型 $(4,1,0,0)$ の場合は，4回現れる数字を4通りで選び，1回現れる数字を残り3通りで選ぶ。さらに，1回現れる数字の位置を5通りで選ぶので $4\cdot 3\cdot 5=60$ 通りである。

型 $(3,1,1,0)$ の場合は，3回現れる数字を4通りで選び，1回ずつ現れる2つの数字を残り3つから選ぶので ${}_3{\mathrm{C}}_2$ 通りである。位置については，3回現れる数字の位置を ${}_5{\mathrm{C}}_3$ 通りで選び，残り2つの位置に2種類の数字を並べるので $2!$ 通りである。したがって$$4\cdot {}_3{\mathrm{C}}_2\cdot {}_5{\mathrm{C}}_3\cdot 2!=4\cdot 3\cdot 10\cdot 2=240$$通りである。

よって余事象の場合の数は $4+60+240=304$ である。したがって求める確率は$$1-\frac{304}{4^5}=1-\frac{304}{1024}=\frac{720}{1024}=\frac{45}{64}$$である。

(1) (2)は指定された数字の位置を直接選ぶ。(3)では、数字 $j$ がちょうど2回現れる事象を $E_j$ とし、4事象の和集合を包除原理で数える。2種類が各2回現れる重なりまで差し引けばよい。

(1)
数字1の位置を2か所選び、残り3か所を $2,3,4$ で埋めるから、確率は$$\frac{{}_5{\mathrm{C}}_2{3}^3}{4^5}=\frac{135}{512}$$である。

(2)
数字1と数字2の位置を順に選ぶと $5\cdot 4$ 通りであり、残り3か所には3または4が入る。よって確率は$$\frac{5\cdot 4\cdot 2^3}{4^5}=\frac{5}{32}$$である。

(3)
数字 $j$ がちょうど2回現れる事象を $E_j$ とする。各 $j$ について$$\mathrm{\mid }{E}_j\mathrm{\mid }={}_5{\mathrm{C}}_2{3}^3=270$$である。

異なる2数字 $i,j$ がともにちょうど2回現れる並びは、$i$ の2位置、$j$ の2位置を選び、残る1位置に残り2数字のいずれかを置くから$$\mathrm{\mid }{E}_i\cap E_j\mathrm{\mid }={}_5{\mathrm{C}}_2{}_3{\mathrm{C}}_2\cdot 2=60$$通りである。3種類の数字がそれぞれ2回現れることは、桁数が5なので不可能である。

したがって包除原理より$$\mid \bigcup _{j=1}^4{E}_j\mid =4\cdot 270-{}_4{\mathrm{C}}_2\cdot 60=720.$$よって求める確率は$$\frac{720}{4^5}=\frac{45}{64}$$である。