東北大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
接点の $x$ 座標を $t$ とする。曲線 $y=x^3-a^{2}x+a^3$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-a^2$ であるから，接点 $T(t,t^3-a^{2}t+a^3)$ における接線は $$y-(t^3-a^{2}t+a^3)=(3t^2-a^2)(x-t)$$ である。この接線が $P(b,0)$ を通る条件は $$0-(t^3-a^{2}t+a^3)=(3t^2-a^2)(b-t)$$ である。整理すると $a^3-a^{2}b+3b{t}^2-2t^3=0$ となる。

ここで $$u={\displaystyle \frac{t}{a}},k={\displaystyle \frac{b}{a}}$$ とおく。$a>0$ なので，両辺を $a^3$ で割ると $-2u^3+3k{u}^2-k+1=0$ である。これを $g(u)=-2u^3+3k{u}^2-k+1$ とおく。導関数は $g^{\mathrm{\prime }}(u)=-6u^2+6ku=6u(k-u)$ である。したがって極値をとる点は $u=0,u=k$ である。$k>0$ であるから，$u=0$ は極小，$u=k$ は極大である。

それぞれの値は $$g(0)=1-k,g(k)=k^3-k+1$$ である。$k^3-k+1$ は $k>0$ で常に正である。実際，$k^3-k+1$ の最小値は $k=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ で現れ，$$1-{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}}>0$$ である。よって異なる3つの実根をもつためには，極小値が負であればよい。すなわち $1-k<0$ より $k>1$ である。

$k=b\mathrm{/}a$ だから，求める領域は $a>0,b>a$ である。図示すれば，$ab$ 平面の第1象限において直線 $b=a$ の上側の部分である。

(2)
接線がちょうど2本となるのは，(1) の境界で極小値が0になる場合である。したがって $k=1$ すなわち $b=a$ である。このとき $$g(u)=-2u^3+3u^2=-u^2(2u-3)$$ であるから，接点の $x$ 座標は $$t=0,t={\displaystyle \frac{3a}{2}}$$ である。$t=0$ は重解であるが，接線としては1本で数える。

2つの接点を$$A=(0,a^3),B=(\frac{3a}{2},{\left(\frac{3a}{2}\right)}^3-a^2\cdot \frac{3a}{2}+a^3)$$とする。$B$ の $y$ 座標は$$\frac{27a^3}{8}-\frac{3a^3}{2}+a^3=\frac{27a^3-12a^3+8a^3}{8}=\frac{23a^3}{8}$$である。したがって $$A=(0,a^3),B=({\displaystyle \frac{3a}{2}},{\displaystyle \frac{23a^3}{8}})$$ である。

また $P=(a,0)$ なので$$\overrightarrow{PA}=(-a,a^3),\overrightarrow{PB}=(\frac{a}{2},\frac{23a^3}{8})$$である。角 $\mathrm{\angle }APB$ が ${90}^{\circ }$ より小さいことは $$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}>0$$ と同値である。内積を計算すると$$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=-\frac{a^2}{2}+\frac{23a^6}{8}=\frac{a^2}{8}(23a^4-4)\mathrm{.}$$$a>0$ だから，これは $23a^4-4>0$ と同値である。よって $$a^4>{\displaystyle \frac{4}{23}},a>{\left({\displaystyle \frac{4}{23}}\right)}^{1\mathrm{/}4}$$ である。

以上より条件は $$b=a,a>{\left({\displaystyle \frac{4}{23}}\right)}^{1\mathrm{/}4}$$ である。

3本の接線をもつ領域

第1象限で直線 $b=a$ より上の領域では、接点方程式が異なる3実根をもつ。