方針
領域は y=a と放物線 y=−x2+2x の間で、さらに x≦a の左側に限られる。まず −x2+2x≧a の左側の交点 1−1−a を求め、これが a 以下であることを確認して積分範囲を決める。面積 S(a) を積分で表し、上端の被積分関数が0になることを使って微分し、u=1−a で方程式を解く。
解答
領域が存在するには、放物線の上端 y=−x2+2x が水平線 y=a 以上でなければならない。すなわち −x2+2x≧a である。これを解くと (x−1)2≦1−a なので、x は 1−1−a≦x≦1+1−a を満たす。
さらに条件 x≦a がある。0<a<1 において 1−1−a≦a は 1−a≦1−a であり、これは 0<1−a<1 から成り立つ。したがって面積はS(a)=∫1−1−aa{−x2+2x−a}dxである。
微分する。下端では被積分関数が0であり、上端 x=a での被積分関数は −a2+2a−a=a−a2 である。また被積分関数の a による微分は −1 なのでS′(a)=a−a2−∫1−1−aa1dxである。よって S′(a)=a−a2−{a−(1−1−a)}=1−1−a−a2 である。 u=1−a とおくと、0<u<1、a=1−u2 である。S′(a)=0 は 1−u−(1−u2)2=0 すなわち 1−u−(1−2u2+u4)=2u2−u−u4=0 である。u>0 より、両辺を u で割って符号を変えると u3−2u+1=0 を得る。因数分解して (u−1)(u2+u−1)=0 である。0<u<1 だから u=25−1 である。
このとき a=1−u2=1−(25−1)2=25−1 である。a→0+、a→1− では領域の面積は0に近づき、内部の停留点は1つだけなので、ここで最大となる。したがって a=25−1 である。
面積は、放物線と水平線の左交点から直線 x=a までの青色部分である。
総評
難度6、目安時間28分。面積の積分範囲を決めるところが核心である。x≦a があるため、放物線と水平線の左交点から x=a までを積分することになる。微分では下端の被積分関数が0になるので、端点微分の項を落ち着いて処理したい。u=1−a の置換後は、0<u<1 にある解だけを採用する。
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出典: 東北大学 2012年度 後期 数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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