東北大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1)

曲線 $C$ 上では$$x=\tan t,y=\frac{1}{\cos t}(0\leqq t<\frac{\pi }{2})$$である。直線 $l:2x-\sqrt{3}y=0$ との交点では $$2\tan t-\sqrt{3}\frac{1}{\cos t}=0$$ である。$0\leqq t<\pi \mathrm{/}2$ では $\cos t>0$ なので、両辺に $\cos t$ をかけて $2\sin t=\sqrt{3}$ を得る。したがって $$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ であり、範囲より $$t=\frac{\pi }{3}$$ である。このとき $$x=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3},y=\frac{1}{\cos (\pi \mathrm{/}3)}=2$$ である。よって交点は $\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><msqrt><mn\; mathvariant="bold">3</mn></msqrt><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$ である。

(2)

曲線 $C$ について $$y^2=\frac{1}{{\cos }^{2}t}=1+{\tan }^{2}t=1+x^2$$ である。さらに $0\leqq t<\pi \mathrm{/}2$ では $y>0$、$x\geqq 0$ なので $$y=\sqrt{1+x^2}(x\geqq 0)$$ である。

直線 $l$ は $$y=\frac{2}{\sqrt{3}}x$$ である。交点の $x$ 座標は $\sqrt{3}$ で、$0\leqq x\leqq \sqrt{3}$ では曲線の方が直線より上にある。したがって求める面積 $S$ は$$S={\int }_0^{\sqrt{3}}(\sqrt{1+x^2}-\frac{2}{\sqrt{3}}x)dx$$である。

まず$${\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{2}{\sqrt{3}}xdx=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{(\sqrt{3}{)}^2}{2}=\sqrt{3}$$である。

次に ${\int }_0^{\sqrt{3}}\sqrt{1+x^2}dx$ を求める。$x=\tan t$ とおくと、$x=0$ のとき $t=0$、$x=\sqrt{3}$ のとき $t=\pi \mathrm{/}3$ であり $$dx=\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt,\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{\cos t}$$ である。よって $${\int }_0^{\sqrt{3}}\sqrt{1+x^2}dx={\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}\frac{1}{{\cos }^{3}t}dt$$ である。この積分を計算すると$$\int \frac{dt}{{\cos }^{3}t}=\frac{1}{2}(\frac{\sin t}{{\cos }^{2}t}+\log \frac{1+\sin t}{\cos t})+C$$である。したがって $${\int }_0^{\sqrt{3}}\sqrt{1+x^2}dx=\sqrt{3}+\frac{1}{2}\log (2+\sqrt{3})$$ となる。

よって面積はである。

交点は直線条件を媒介変数へ代入して求める。面積は、曲線の下側の面積を媒介変数表示の公式 $\int ydx$ で計算し、直線と座標軸が作る三角形の面積を引く。

(1)

交点では$$2\tan t-\sqrt{3}\frac{1}{\cos t}=0$$である。$0\leqq t<\pi \mathrm{/}2$ では $\cos t>0$ だから $2\sin t=\sqrt{3}$ となり、$t=\pi \mathrm{/}3$ である。したがって交点はである。

(2)

曲線 $C$ では $x=\tan t$ だから$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{{\cos }^{2}t}$$である。$t=0$ から $t=\pi \mathrm{/}3$ までの曲線の下側の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{C}ydx}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}\frac{1}{\cos t}\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}\frac{dt}{{\cos }^{3}t}}\end{array}$$である。原始関数$$\int \frac{dt}{{\cos }^{3}t}=\frac{1}{2}(\frac{\sin t}{{\cos }^{2}t}+\log \frac{1+\sin t}{\cos t})+C$$を用いると$${\int }_{C}ydx=\sqrt{3}+\frac{1}{2}\log (2+\sqrt{3})$$となる。

一方、直線 $l$、$x$ 軸、$y$ 軸で切り取られる部分のうち $0\leqq x\leqq \sqrt{3}$ の面積は$${\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{2}{\sqrt{3}}xdx=\sqrt{3}$$である。したがって求める面積はである。