東北大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$I_0={\int }_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}2}\frac{\cos x}{\sin x}dx$$ である。$\sin x>0$ の範囲で $$\frac{d}{dx}\log (\sin x)=\frac{\cos x}{\sin x}$$ なのでである。

(2) $n$ を正の整数とする。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_n-I_{n-1}}& {\displaystyle ={\int }_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}2}\frac{\cos ((2n+1)x)-\cos ((2n-1)x)}{\sin x}dx}\end{array}$$である。

ここで $$\cos ((2n+1)x)-\cos ((2n-1)x)=-2\sin (2nx)\sin x$$ である。したがって $$I_n-I_{n-1}={\int }_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}2}-2\sin (2nx)dx$$ である。これを積分するとである。

(3)

(1) (2)より $$I_5=I_0+\sum _{n=1}^5(I_n-I_{n-1})$$ である。各差分は$$\begin{array}{rlrlrl}{\displaystyle I_1-I_0}& {\displaystyle =-1,}& {\displaystyle I_2-I_1}& {\displaystyle =1,}& {\displaystyle I_3-I_2}& {\displaystyle =-\frac{1}{3},}\\ {\displaystyle I_4-I_3}& {\displaystyle =0,}& {\displaystyle I_5-I_4}& {\displaystyle =-\frac{1}{5}}\end{array}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_5}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\log 2-1+1-\frac{1}{3}+0-\frac{1}{5}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\log 2-\frac{8}{15}}\end{array}$$である。よって である。