東北大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1)
座標を $$A=(0,0),B=(1,0),C=(0,\sqrt{3})$$ とおく。このとき $$P_k=(\frac{k}{n},0)$$ である。したがって $P_k{P}_{k+1}=\frac{1}{n}$ であり、$$C{P}_k=\sqrt{3+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2},C{P}_{k+1}=\sqrt{3+{\left(\frac{k+1}{n}\right)}^2}$$である。

三角形 $P_{k}C{P}_{k+1}$ の底辺を $P_k{P}_{k+1}$ と見ると、高さは $\sqrt{3}$ なので、面積は $${\mathrm{\Delta }}_k=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2n}$$ である。内接円の半径を $r_k$ とすると、${\mathrm{\Delta }}_k=r_k{s}_k$ である。ただし $s_k$ は半周長で、$$s_k=\frac{1}{2}\{\frac{1}{n}+\sqrt{3+(k\mathrm{/}n{)}^2}+\sqrt{3+((k+1)\mathrm{/}n{)}^2}\}$$である。よって$$r_k=\frac{\sqrt{3}\mathrm{/}n}{\frac{1}{n}+\sqrt{3+(k\mathrm{/}n{)}^2}+\sqrt{3+((k+1)\mathrm{/}n{)}^2}}$$である。

(2) $$\sqrt{3+{\left(\frac{k+1}{n}\right)}^2}\geqq \sqrt{3+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$$だから、(1)の分母は$$2\sqrt{3+(k\mathrm{/}n{)}^2}$$以上である。したがって$$r_k\leqq \frac{\sqrt{3}}{2n\sqrt{3+(k\mathrm{/}n{)}^2}}\mathrm{.}$$よって$$S_n=\sum _{k=0}^{n-1}\pi r_k^2\leqq \sum _{k=0}^{n-1}\frac{3\pi }{4n^2\{3+(k\mathrm{/}n{)}^2\}}\mathrm{.}$$両辺に $n$ を掛けると$$n{S}_n\leqq \frac{3\pi }{4}\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{3+(k\mathrm{/}n{)}^2}=\frac{3\pi }{4}{I}_n\mathrm{.}$$$I_n$ は関数 $1\mathrm{/}(3+x^2)$ の $[0,1]$ における区分求積和なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n={\int }_0^1\frac{dx}{3+x^2}\mathrm{.}$$ここで $x=\sqrt{3}\tan \theta$ と置くと、$$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{6},dx=\sqrt{3}{\sec }^2\theta d\theta$$である。したがって$${\int }_0^1\frac{dx}{3+x^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}d\theta =\frac{\pi }{6\sqrt{3}}\mathrm{.}$$よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n=\frac{\pi }{6\sqrt{3}}\mathrm{.}$$(3)$$g(x)=\sqrt{3+x^2}$$とおく。(1)の正確な式から$$\begin{array}{cccc}& n{S}_n=\frac{3\pi }{n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{\{n^{-1}+g(k\mathrm{/}n)+g((k+1)\mathrm{/}n){\}}^2}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$g$ は増加関数だから$$2g(k\mathrm{/}n)\leqq n^{-1}+g(k\mathrm{/}n)+g((k+1)\mathrm{/}n)\leqq n^{-1}+2g((k+1)\mathrm{/}n)\mathrm{.}$$左側の評価から、(2)で得た$$n{S}_n\leqq \frac{3\pi }{4}{I}_n$$が成り立つ。一方、右側の評価を (1) に用いると$$n{S}_n\geqq \frac{3\pi }{4}\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{\{g((k+1)\mathrm{/}n)+1\mathrm{/}(2n){\}}^2}\mathrm{.}$$右辺の和は、連続関数 $1\mathrm{/}(3+x^2)$ の区分求積和と同じ極限をもつので、
その極限は$$\frac{3\pi }{4}{\int }_0^1\frac{dx}{3+x^2}$$である。上からの評価も同じ極限へ収束するから、はさみうちの原理より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{S}_n=\frac{3\pi }{4}\cdot \frac{\pi }{6\sqrt{3}}=\frac{{\pi }^2}{8\sqrt{3}}\mathrm{.}$$辺 $AB$ の各小区間と頂点 $C$ が作る細長い三角形ごとに内接円を考える。