方針
まず2次方程式を解いて α,β を具体的に表す。cosθ は [π/3,π/2] で 1/2 から 0 へ単調に減少するため、0<α<1/2 を示せば存在と一意性が従う。次に 4α2+2α−1=0 を使って 2α2−1=β を示し、2倍角公式から 2θ を決める。
解答
(1)
2次方程式 4x2+2x−1=0 の解は x=8−2±4+16=4−1±5 である。α>β より α=4−1+5,β=4−1−5 である。
ここで 2<5<3 だから 0<4−1+5<21 すなわち 0<α<21 である。一方、θ が π/3≦θ≦π/2 を動くとき、cosθ は 1/2 から 0 まで単調に減少する。したがって α=cosθ となる θ はこの範囲にただ1つ存在する。
(2) α は方程式の解なので 4α2+2α−1=0 である。したがって 2α2−1=−α−21 である。α=(−1+5)/4 を代入すると−α−21=−4−1+5−21=4−1−5=βである。
(1) より α=cosθ だから、2倍角公式を用いて cos2θ=2cos2θ−1=2α2−1=β を得る。
(3) ϕ=52πとおく。和積の公式を繰り返すと得られる恒等式1+2cosϕ+2cos2ϕ=sin(ϕ/2)sin(5ϕ/2)に ϕ=2π/5 を代入すると、右辺は 0 になる。c=cosϕ とおき、cos2ϕ=2c2−1 を使えば4c2+2c−1=0を得る。さらに π/3<ϕ<π/2 なので 0<c<1/2 であり、c は大きい方の解 α である。
(1) で、この範囲に cosθ=α となる角はただ1つであることを示した。したがってθ=52πである。
総評
難度4、目安時間14分。解の具体形、三角関数の単調性、2倍角公式を順に使う基本問題である。採点上は、α=cosθ の存在だけでなく一意性まで、cosθ の単調減少で説明することが重要である。典型ミスは、2θ の範囲を確認せずに cos2θ=β から角を複数候補のまま扱うことである。
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出典: 東北大学 2013年度 後期 数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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