東北大 2013年度理系数学第6問｜問題・解答・解説

方針

直径 $A B$ を $x$ 軸、底面内でそれに垂直な方向を $y$ 軸、高さ方向を $z$ 軸にとる。切断平面は $z = y$ としてよく、小さい部分は各 $x = t$ 断面で $0 ≦ z ≦ \min (y, 1 / \sqrt{2})$ となる部分である。断面の半幅 $\sqrt{1 - t^{2}}$ が円柱の高さ $1 / \sqrt{2}$ を超えるかどうかで場合分けし、最後に左右対称性で $t ≧ 0$ の積分を2倍する。

解答

(1)
底面を $x y$ 平面、高さ方向を $z$ 軸にとり、直径 $A B$ を $x$ 軸上におく。円柱は $x^{2} + y^{2} ≦ 1, 0 ≦ z ≦ \frac{1}{\sqrt{2}}$ で表される。 $A B$ を含み底面と $45^{\circ}$ の角をなす平面は、向きを選べば $z = y$ と表せる。小さい方の部分 $V$ は、 $y ≧ 0$ 側でこの平面の下にある部分である。

直径 $A B$ と直交し、 $O$ との距離が $t$ である断面を考える。これは $x = t$ または $x = - t$ の断面で、面積は同じである。この断面内で $y$ の範囲は $- \sqrt{1 - t^{2}} ≦ y ≦ \sqrt{1 - t^{2}}$ である。小さい部分に関係するのは $0 ≦ y ≦ \sqrt{1 - t^{2}}$ であり、各 $y$ に対する高さは $\min (y, \frac{1}{\sqrt{2}})$ である。 $0 ≦ t ≦ 1 / \sqrt{2}$ のときは $\sqrt{1 - t^{2}} ≧ 1 / \sqrt{2}$ だから、 $S (t) = \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} y d y + \int_{1 / \sqrt{2}}^{\sqrt{1 - t^{2}}} \frac{1}{\sqrt{2}} d y$ である。したがって $S (t) = \frac{1}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{1 - t^{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - t^{2}} - \frac{1}{4}$ である。 $1 / \sqrt{2} ≦ t ≦ 1$ のときは $\sqrt{1 - t^{2}} ≦ 1 / \sqrt{2}$ だから、平面 $z = y$ が上面に達しない。よって $S (t) = \int_{0}^{\sqrt{1 - t^{2}}} y d y = \frac{1 - t^{2}}{2}$ である。

以上より $S (t) = {\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - t^{2}} - \frac{1}{4} & (0 ≦ t ≦ \frac{1}{\sqrt{2}}), \\ \frac{1 - t^{2}}{2} & (\frac{1}{\sqrt{2}} ≦ t ≦ 1) \end{cases}$ である。

(2)
断面積は $x = t$ と $x = - t$ で同じなので、体積は $V = 2 \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - t^{2}} - \frac{1}{4}) d t + 2 \int_{1 / \sqrt{2}}^{1} \frac{1 - t^{2}}{2} d t$ である。

ここで $I = \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} \sqrt{1 - t^{2}} d t$ は、単位円の第1象限で $0 ≦ t ≦ 1 / \sqrt{2}$ にある部分の面積である。四分円から、中心角 $π / 4$ の扇形と直角三角形との差を引けば $I = \frac{π}{4} - (\frac{π}{8} - \frac{1}{4}) = \frac{π}{8} + \frac{1}{4} .$ したがって $\begin{aligned} 2 \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - t^{2}} - \frac{1}{4}) d t & = \sqrt{2} I - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\ = \frac{\sqrt{2} π}{8} . \end{aligned}$ また $2 \int_{1 / \sqrt{2}}^{1} \frac{1 - t^{2}}{2} d t = \int_{1 / \sqrt{2}}^{1} (1 - t^{2}) d t = \frac{2}{3} - \frac{5 \sqrt{2}}{12}$ である。したがって $V = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{2} π}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{12}$ である。

$x = t$ で切った断面を $y z$ 平面上に描くと、場合分けは次のように見える。青色部分の面積が $S (t)$ である。

総評

難度7、目安時間30分。立体を一気に扱わず、 $A B$ に垂直な断面で面積を求めるのが正攻法である。採点上は、断面の半幅 $\sqrt{1 - t^{2}}$ と円柱の高さ $1 / \sqrt{2}$ の大小で場合分けする理由を明示することが重要になる。典型ミスは、 $y < 0$ 側も小さい部分に含めてしまうこと、また最後の体積で左右対称の2倍を忘れることである。

出典: 東北大学 2013年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

方針

解答

総評

東北大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系数学第6問