Evolton
方針
(1) (2)は数字の組を先に決め、同じ数字が書かれた2個の玉を別物として選び方を数える。(3)は前半・後半の3個の数字の多重集合を積ごとに分類する。各数字は全体で2個までという制約を同時に課し、前半と後半の型の順序、各型の並べ方、同じ数字の玉の割り当てをまとめて数える。積12と20だけ3組の型の組合せが可能になる。
解答
(1)
10個の玉は、同じ数字が書かれていても別の玉として扱う。2個を取り出す全体の場合の数はである。積が10になる数字の組は だけであり、数字2の玉と数字5の玉の選び方はそれぞれ2通りである。したがってである。
(2)
4個を取り出す全体の場合の数はである。 だから数字3は使えず、数字5は2個とも必要である。残る2個の積が4になる数字の組は または である。したがって数字の多重集合はに限られる。前者は数字1と4の玉をそれぞれ2個から選ぶので 通り、後者は該当する4個をすべて選ぶので1通りである。よってである。
(3)
6個を順に取り出す全体の場合の数はである。
前半3個と後半3個の数字の多重集合を、それぞれ文字列 , のように表す。積が等しく、しかも各数字を前後半で合計2個までしか使わない型をすべて整理すると次の表になる。表の1行が 通りになる理由を確認する。例えば型 では、前半で数字1,2,3の玉をそれぞれ2個から選び、3個を並べるので 通りある。後半では各数字について残った1個を使い、3個を並べるので 通りである。したがって通りである。型 のような行でも、前半・後半の重複を考慮して玉を割り当てると同じ288通りになる。例えば前半 、後半 ならである。
したがって有利な順列は通りである。よって求める確率はである。
総評
難度6、計算量7。目安時間は28分。(1)(2) は確実に取りたいが、同じ数字の玉が2個ずつあるため、数字の組を列挙した後に玉の選び方を掛ける必要がある。(3) は順序付き6個取り出しであり、前半で使った玉が後半に残らない点が最大の落とし穴である。積ごとに整理すると答案は見通しよくなるが、積12と20だけ通り数が増える理由を説明できるようにしておきたい。計算は重いので、全体数 と有利数 を最後に約分する流れで整理するとよい。 別解監査では、(3)の前半の型を固定して後半を照合する案も、結局は同じ型分類を別順序で集計するため独立解法としては数えず、検算として用いた。