東北大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

判別式は $D=p_2^2-16p_1{p}_3$ である。実数解をもつ条件は $D\geqq 0$ である。$p_2\leqq 6$ より $p_2^2\leqq 36$ なので、$D\geqq 0$ となるには $p_1{p}_3\leqq 2$ が必要である。

$(p_1,p_3)=(1,1)$ のときは $p_2=4,5,6$ の3通り、$(p_1,p_3)=(1,2),(2,1)$ のときはそれぞれ $p_2=6$ の1通りである。したがって実数解をもつ出方は $3+1+1=5$ 通りであり、確率は ${\displaystyle \frac{5}{216}}$ である。

(2)

解と係数の関係より $${\displaystyle \alpha \beta =\frac{2p_3}{2p_1}=\frac{p_3}{p_1}}$$ である。したがって $\alpha \beta =1$ は $p_1=p_3$ と同値である。

$p_1=p_3=1$ では、非実数解をもつ条件 $D<0$ は $p_2=1,2,3$ の3通りである。$p_1=p_3=2,3,4,5,6$ では、どの $p_2$ に対しても $p_2^2<16p_1{p}_3$ となるので、それぞれ6通りである。よって有利な出方は $3+5\cdot 6=33$ 通りであり、確率は $${\displaystyle \frac{33}{216}=\frac{11}{72}}$$ である。

(3)

$\alpha \beta <1$ は $${\displaystyle \frac{p_3}{p_1}<1}$$ すなわち $p_3<p_1$ と同値である。$p_3<p_1$ を満たす $(p_1,p_3)$ は ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りあり、それぞれ $p_2$ は6通りなので、まず $90$ 通りある。

このうち実数解をもつものを除く。$p_3<p_1$ かつ $D\geqq 0$ となるのは、(1)で数えたもののうち $(p_1,p_3)=(2,1),p_2=6$ の1通りだけである。したがって、$p_3<p_1$ かつ非実数解をもつ出方は $90-1=89$ 通りである。よって求める確率は ${\displaystyle \frac{89}{216}}$ である。

(1) は $p_2$ を固定して数える。(2)は積が1となる対角成分を数え、(3)は非実数解全体から積1の場合を除いた後、$p_1,p_3$ の交換対称性で半分にする。

(1)

判別式は$$D=p_2^2-16p_1{p}_3$$である。$p_2=1,2,3$ では $p_2^2<16\leqq 16p_1{p}_3$ なので実数解をもたない。$p_2=4,5$ では $D\geqq 0$ となるのは $(p_1,p_3)=(1,1)$ の各1通りである。$p_2=6$ では$$p_1{p}_3\leqq \frac{36}{16}<3$$だから $(p_1,p_3)=(1,1),(1,2),(2,1)$ の3通りである。したがって有利な出方は$$1+1+3=5$$通りであり、確率は$$\frac{5}{216}$$である。

(2)

解と係数の関係より$$\alpha \beta =\frac{p_3}{p_1}$$である。したがって $\alpha \beta =1$ は $p_1=p_3$ と同値である。$p_1=p_3=1$ では $p_2=1,2,3$ の3通り、$p_1=p_3=2,3,4,5,6$ では $p_2$ の6通りすべてが $D<0$ を満たす。よって$$3+5\cdot 6=33$$通りであり、確率は$$\frac{33}{216}=\frac{11}{72}$$である。

(3)

(1) より実数解をもつ出方は5通りだから、非実数解をもつ出方は$$216-5=211$$通りである。このうち $\alpha \beta =1$ の33通りを除くと、$\alpha \beta <1$ または $\alpha \beta >1$ となる出方は178通りである。

ここで $p_1$ と $p_3$ を交換しても判別式 $D$ は変わらず、$p_3\mathrm{/}{p}_1<1$ と $p_3\mathrm{/}{p}_1>1$ が互いに入れ替わる。したがって両者の出方は同数であり、求める出方は$$\frac{178}{2}=89$$通りである。よって確率は$$\frac{89}{216}$$となる。