東北大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

曲線 $C:y=x^2$ の $x=u$ における接線は $y=2u(x-u)+u^2=2ux-u^2$ である。したがって $$l_1:y=2ax-a^2,l_2:y=2bx-b^2$$ である。

交点 $R$ の $x$ 座標を求めるために連立すると $2ax-a^2=2bx-b^2$ である。$a<b$ だから $a\mathrm{\ne }b$ であり、整理して $2(a-b)x=(a-b)(a+b)$ となる。よって $$x=\frac{a+b}{2}$$ である。この値を $l_1$ に代入すると $$y=2a\cdot \frac{a+b}{2}-a^2=ab$$ である。したがって である。

(2)

接線は放物線の下側にある。$R$ の $x$ 座標は $(a+b)\mathrm{/}2$ なので、左半分では放物線と $l_1$、右半分では放物線と $l_2$ の差を積分する。ここで$$x^2-(2ax-a^2)=(x-a{)}^2,x^2-(2bx-b^2)=(x-b{)}^2$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_a^{(a+b)\mathrm{/}2}(x-a{)}^{2}dx+{\int }_{(a+b)\mathrm{/}2}^b(x-b{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{3}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^3+\frac{1}{3}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(b-a{)}^3}{12}}\end{array}$$である。よって である。

(3) $l_1,l_2$ の傾きはそれぞれ $2a,2b$ である。2直線が垂直である条件は傾きの積が $-1$ であることなので $(2a)(2b)=-1$ すなわち $4ab=-1$ である。

このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (b-a{)}^2}& {\displaystyle =(a+b{)}^2-4ab}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a+b{)}^2+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq 1}\end{array}$$である。$a<b$ より $b-a>0$ だから $b-a\geqq 1$ である。等号は $a+b=0$ のときで、このとき $4ab=-1$ と合わせて $$a=-\frac{1}{2},b=\frac{1}{2}$$ となり、確かに条件を満たす。

よって $$S=\frac{(b-a{)}^3}{12}\geqq \frac{1}{12}$$ であり、最小値は $\mathrm{<mfrac><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mn\; mathvariant="bold">12</mn></mfrac>}$ である。