東北大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$B=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)$$であり、行列式は $$1\cdot 1-(-\sqrt{3})\sqrt{3}=4$$ である。したがって$$B^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 1\end{array}\right)$$である。

まず$$BA=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -1\end{array}\right)$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C}& {\displaystyle =BA{B}^{-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 1\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}-2& 2\sqrt{3}\\ 2\sqrt{3}& 2\end{array}\right)}\end{array}$$である。したがって$$C=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である。

(2) $$C\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$は $$-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=x$$ および $$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=y$$ を意味する。第1式を整理すると $\sqrt{3}y=3x$ なので $y=\sqrt{3}x$ である。第2式も同じ条件を与える。

よって求める点は直線 上のすべての点である。すなわち である。

(3)

直線 $x=1$ 上の点を$$\left(\begin{array}{c}1\\ y\end{array}\right)$$とおく。これを $C$ で移すと$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ y\end{array}\right)$$である。したがって $$x^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}y$$ $$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}y$$ である。

第1式から $\sqrt{3}y=2x^{\mathrm{\prime }}+1$ なので $$y=\frac{2x^{\mathrm{\prime }}+1}{\sqrt{3}}$$ である。これを第2式に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2x^{\mathrm{\prime }}+1}{\sqrt{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{2\sqrt{3}}+\frac{2x^{\mathrm{\prime }}+1}{2\sqrt{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{x^{\mathrm{\prime }}+2}{\sqrt{3}}}\end{array}$$である。よって $x^{\mathrm{\prime }}-\sqrt{3}{y}^{\mathrm{\prime }}+2=0$ である。軌跡の方程式は、文字を通常の $(x,y)$ に戻して書けば である。