東北大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
放物線 $C:y=-\frac{1}{2}{x}^2$ の $x=u$ における接線は $y=-ux+\frac{1}{2}{u}^2$ である。2つの接点の $x$ 座標を $u,v$ とすると、直交条件から $uv=-1$ であり、2接線の交点の $x$ 座標 $a$ は $$a=\frac{u+v}{2}$$ である。したがって $u,v$ は $X^2-2aX-1=0$ の2解であり、$$u=a-\sqrt{a^2+1},v=a+\sqrt{a^2+1}$$ である。傾きは $-u,-v$ で、$l_1$ の傾きが $l_2$ の傾きより大きいので $l_1,l_2$ の傾きはそれぞれ $-a+\sqrt{a^2+1},-a-\sqrt{a^2+1}$ である。

(2)
接点の $x$ 座標を $u$ とする。接線は $y=-ux+\frac{1}{2}{u}^2$ であり、$x$ 軸との交点は $$x=\frac{u}{2}$$ である。この接線、$x$ 軸、放物線で囲まれる面積を求めると、$u>0$ の場合は$${\int }_0^{u\mathrm{/}2}\frac{x^2}{2}dx+{\int }_{u\mathrm{/}2}^u(-ux+\frac{1}{2}{u}^2+\frac{x^2}{2})dx=\frac{u^3}{24}$$である。$u<0$ の場合も左右が反転するだけなので、面積は $\frac{\mathrm{\mid }u{\mathrm{\mid }}^3}{24}$ である。

2つの接点について、$uv=-1$ であるから一方は負、一方は正である。$v=r>0$ とおくと $u=-\frac{1}{r}$ であり、$$S_1+S_2=\frac{1}{24}(r^3+\frac{1}{r^3})$$ である。相加平均・相乗平均より $r^3+\frac{1}{r^3}\geqq 2$ であり、等号は $r=1$ のときである。したがって最小値は $\frac{1}{12}$ である。

このとき $u=-1$、$v=1$ なので $$a=\frac{u+v}{2}=0$$ であり、交点 $P$ の $y$ 座標は $\frac{1}{2}$ である。よって $$P=(0,\frac{1}{2})$$ である。

接点 $u,v$ に対する各面積が $\mathrm{\mid }u{\mathrm{\mid }}^3\mathrm{/}24,\mathrm{\mid }v{\mathrm{\mid }}^3\mathrm{/}24$ であるところまでは積分で求める。その後 $u=a-\sqrt{a^2+1},v=a+\sqrt{a^2+1}$ を直接代入し、面積和を $a^2$ の増加関数として最小化する。

(1)
接点の $x$ 座標を $u,v$ とすると、接線は$$y=-ux+\frac{u^2}{2},y=-vx+\frac{v^2}{2}\mathrm{.}$$直交条件と交点の $x$ 座標から$$uv=-1,u+v=2a\mathrm{.}$$よって$$u=a-\sqrt{a^2+1},v=a+\sqrt{a^2+1}\mathrm{.}$$傾きは $-u,-v$ だから、指定された順に$$-a+\sqrt{a^2+1},-a-\sqrt{a^2+1}\mathrm{.}$$(2)
接点 $u$ に対応する図形の面積は、接線と放物線の差を積分して$$\frac{\mathrm{\mid }u{\mathrm{\mid }}^3}{24}$$である。$$d=\sqrt{a^2+1}$$ とおくと $u=a-d<0,v=a+d>0$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1+S_2}& {\displaystyle =\frac{(d-a{)}^3+(d+a{)}^3}{24}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{d(4a^2+1)}{12}\mathrm{.}}\end{array}$$$$d=\sqrt{a^2+1}\geqq 1$$、$4a^2+1\geqq 1$ であり、両方の等号は $a=0$ のとき同時に成り立つ。したがって$$S_1+S_2\geqq \frac{1}{12}\mathrm{.}$$$a=0$ のとき交点の $y$ 座標は $-uv\mathrm{/}2=1\mathrm{/}2$ だから$$P=(0,\frac{1}{2}),(S_1+S_2{)}_{\min }=\frac{1}{12}\mathrm{.}$$