東北大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)

交点の $x$ 座標は $x^3=2x^2-ax$ を満たす。整理すると $x(x^2-2x+a)=0$ である。したがって1つの交点は常に $x=0$ である。

異なる3つの交点を持つためには、2次方程式 $x^2-2x+a=0$ が異なる2つの実数解を持ち、しかもそのどちらも0でないことが必要十分である。判別式は $(-2{)}^2-4a=4(1-a)$ なので、異なる2実根を持つ条件は $a<1$ である。また0がこの2次方程式の根になるのは $a=0$ のときである。これは $x=0$ と重なって交点が3つにならない。

よって求める条件は である。

(2) $$s=\sqrt{1-a}$$ とおく。すると2次方程式の2根は $1-s,1+s$ である。また $$C_1-C_2=x^3-(2x^2-ax)=x(x^2-2x+a)=x(x-1+s)(x-1-s)$$ である。

まず $a<0$ の場合を考える。このとき $s>1$ であり、交点の $x$ 座標の順は $1-s<0<1+s$ である。2つの囲まれた部分は、区間 $[1-s,0]$ と $[0,1+s]$ に対応する。計算すると等積条件は $$(s+1{)}^3(3s-1)=(s-1{)}^3(3s+1)$$ となるが、左辺から右辺を引くと $16s^3>0$ であり、等しくならない。したがって $a<0$ の場合に解はない。

次に $0<a<1$ の場合を考える。このとき $0<s<1$ であり、交点の $x$ 座標は $0<1-s<1+s$ の順である。

区間 $[0,1-s]$ では $$C_1-C_2=x(x-1+s)(x-1-s)>0$$ なので、左側の面積を $$S_1={\int }_0^{1-s}(C_1-C_2)dx$$ とする。計算すると $$S_1=\frac{(1-s{)}^3(3s+1)}{12}$$ である。

区間 $[1-s,1+s]$ では $C_2-C_1$ が正なので、右側の面積を $$S_2={\int }_{1-s}^{1+s}(C_2-C_1)dx$$ とする。計算すると $$S_2=\frac{4s^3}{3}$$ である。

等積条件 $S_1=S_2$ は $$\frac{(1-s{)}^3(3s+1)}{12}=\frac{4s^3}{3}$$ である。両辺を12倍して $(1-s{)}^3(3s+1)=16s^3$ となる。展開して整理すると $(s+1{)}^3(3s-1)=0$ である。$0<s<1$ より $s=\frac{1}{3}$ である。

したがって $$a=1-s^2=1-\frac{1}{9}=\mathrm{<mfrac><mn\; mathvariant="bold">8</mn><mn\; mathvariant="bold">9</mn></mfrac>}$$ である。