東北大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
曲線 $C:y=x^2$ の $x=t$ における接線の傾きは $2t$ である。したがって $t\mathrm{\ne }0$ のとき、法線の傾きは $-1\mathrm{/}(2t)$ であり、法線の方程式は $y-t^2=-\frac{1}{2t}(x-t)$ すなわち $$y=-\frac{x}{2t}+t^2+\frac{1}{2}$$ である。

点 $P$ は $t=1\mathrm{/}2$ に対応するので $l:y=-x+\frac{3}{4}$ である。また点 $Q(a,a^2)$ における法線は $$m:y=-\frac{x}{2a}+a^2+\frac{1}{2}$$ である。

2直線の交点の $x$ 座標を求める。$a\mathrm{\ne }1\mathrm{/}2$ より2直線は一致せず、$$-x+\frac{3}{4}=-\frac{x}{2a}+a^2+\frac{1}{2}$$ から $$x=-a^2-\frac{a}{2}$$ を得る。このとき $l$ 上の $y$ 座標は $$y=a^2+\frac{a}{2}+\frac{3}{4}$$ である。

交点が放物線 $C$ 上にあるから $${(a^2+\frac{a}{2})}^2=a^2+\frac{a}{2}+\frac{3}{4}$$ である。ここで $$u=a^2+\frac{a}{2}$$ とおくと、$a>0$ より $u>0$ であり、$u^2=u+\frac{3}{4}$ すなわち $$(u-\frac{3}{2})(u+\frac{1}{2})=0$$ である。$u>0$ だから $u=\frac{3}{2}$ である。よって $$a^2+\frac{a}{2}=\frac{3}{2}$$ すなわち $2a^2+a-3=0$ である。$a>0$ なので $a=1$ である。

(2) $a=1$ のとき $$l:y=-x+\frac{3}{4},m:y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$ である。右側部分では、$x=0$ から $x=1\mathrm{/}2$ までは2直線にはさまれ、$x=1\mathrm{/}2$ から $x=1$ までは直線 $m$ と放物線にはさまれる。

したがって求める面積は$${\int }_0^{1\mathrm{/}2}\{(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})-(-x+\frac{3}{4})\}dx+{\int }_{1\mathrm{/}2}^1\{(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})-x^2\}dx$$である。第1項は$${\int }_0^{1\mathrm{/}2}(\frac{1}{2}x+\frac{3}{4})dx={[\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{4}x]}_0^{1\mathrm{/}2}=\frac{7}{16}$$である。第2項は$${\int }_{1\mathrm{/}2}^1(-x^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})dx={[-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{4}+\frac{3}{2}x]}_{1\mathrm{/}2}^1=\frac{13}{48}$$である。よって面積は $$\frac{7}{16}+\frac{13}{48}=\frac{17}{24}$$ である。

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2本の法線と、面積を求める右半平面の位置関係は次のようになる。