東北大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1)
点$P$は線分$AB$を$t:1-t$に内分するので $$P=(1-t)A+tB=(1-t,\sqrt{3}t)$$ である。また点$Q$は線分$BC$を$t:1-t$に内分するので $$Q=(1-t)B+tC=(-t,\sqrt{3}(1-t))$$ である。

したがって$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=(1-t)(-t)+\sqrt{3}t\cdot \sqrt{3}(1-t)=2t(1-t)$$である。$T=t(1-t)$とおくと $$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=2T$$ である。

また $$\mathrm{\mid }OP{\mathrm{\mid }}^2=(1-t{)}^2+3t^2=1-2t+4t^2$$ であり，$$\mathrm{\mid }OQ{\mathrm{\mid }}^2=t^2+3(1-t{)}^2=3-6t+4t^2$$ である。積を整理すると $$\mathrm{\mid }OP{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }OQ{\mathrm{\mid }}^2=16T^2-12T+3$$ となる。よって$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}}{\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }OQ\mathrm{\mid }}=\frac{2T}{\sqrt{16T^2-12T+3}}$$である。

(2) $0<t<1$より $0<T=t(1-t)\leqq \frac{1}{4}$ である。$\cos \theta >0$なので，$\cos \theta$の大小はその2乗の大小で調べられる。 $${\cos }^2\theta =\frac{4T^2}{16T^2-12T+3}$$ とおく。分母は$\mathrm{\mid }OP{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }OQ{\mathrm{\mid }}^2$なので正である。これを$T$で微分すると$$\frac{d}{dT}\left(\frac{4T^2}{16T^2-12T+3}\right)=\frac{24T(1-2T)}{(16T^2-12T+3{)}^2}$$である。$0<T\leqq 1\mathrm{/}4$では $24T(1-2T)>0$ なので，${\cos }^2\theta$，したがって$\cos \theta$は増加する。

よって$\theta$が最小となるのは，$\cos \theta$が最大となる $T=\frac{1}{4}$ のときである。このとき$$\cos \theta =\frac{2\cdot \frac{1}{4}}{\sqrt{16\cdot \frac{1}{16}-12\cdot \frac{1}{4}+3}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$$である。$0<\theta <\pi$より $$\theta =\frac{\pi }{3}$$ であり，これが最小値である。

(1) は内分点の座標から$\cos \theta$を$T=t(1-t)$だけの式へまとめる。(2)では微分せず，$T\leqq 1\mathrm{/}4$をそのまま${\cos }^2\theta \leqq 1\mathrm{/}4$と同値な不等式へ変形する。等号条件$T=1\mathrm{/}4$から$t=1\mathrm{/}2$を回収する。

(1) 内分公式より$$P=(1-t,\sqrt{3}t),Q=(-t,\sqrt{3}(1-t))\mathrm{.}$$$T=t(1-t)$とおくと$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=2T$$であり，$$\mathrm{\mid }OP{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }OQ{\mathrm{\mid }}^2=16T^2-12T+3.$$したがって$$\cos \theta =\frac{2T}{\sqrt{16T^2-12T+3}}\mathrm{.}$$(2) $0<t<1$より$$0<T\leqq \frac{1}{4}\mathrm{.}$$また$\cos \theta >0$である。そこで$${\cos }^2\theta =\frac{4T^2}{16T^2-12T+3}$$を$1\mathrm{/}4$と比較する。分母は正なので，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\cos }^2\theta \leqq \frac{1}{4}}& {\displaystyle ⟺16T^2\leqq 16T^2-12T+3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟺T\leqq \frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$これは常に成り立ち，等号は$T=1\mathrm{/}4$，すなわち$$t(1-t)=\frac{1}{4}$$から$t=1\mathrm{/}2$のときに成り立つ。よって$\cos \theta \leqq 1\mathrm{/}2$であり，$0<\theta <\pi$だから$$\theta \geqq \frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$したがって最小値は$\pi \mathrm{/}3$で，$t=1\mathrm{/}2$のときに取る。