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東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

点 O を中心とする半径1の円を S とする。

(1)
S の周上に3点 P,Q,R がこの順に反時計回りに並んでいる。α=∠POQ、β=∠QOR とし、0<α<π,0<β<πとする。三角形 PQR の面積が12{sin⁡α+sin⁡β−sin⁡(α+β)}で与えられることを示せ。

(2)
S の周上に5点 A,B,C,D,X がこの順に反時計回りに並んでいる。ただし、∠AOB=π2,∠BOC=π3,∠COD=π3であり、点 X は D と A の間を動くものとする。三角形 XAB と三角形 XCD の面積の和の最大値を求めよ。また、そのときの ∠AOX を求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安24分

三角関数、図形と方程式　三角比の利用、面積計算、微分による最大最小

方針

(1) は半径1の円の中心 O と各頂点を結び、△OPQ、△OQR から △OPR を引く面積分解で示す。(2)は A から反時計回りに測った X の偏角を θ と置く。点の順序から 7π/6≦θ≦2π である。(1)を △XAB と △XCD に適用し、面積和を 12+34−12sin⁡θ に整理して最大化する。

解答

(1)
半径1の円なので OP=OQ=OR=1 である。点 P,Q,R がこの順に反時計回りに並ぶので、中心 O と結ぶと、三角形 PQR の面積は △OPQ+△OQR−△OPR で求められる。

それぞれの面積は、2辺とその間の角から[OPQ]=12sin⁡α,[OQR]=12sin⁡β,[OPR]=12sin⁡(α+β)である。したがって [PQR]=12{sin⁡α+sin⁡β−sin⁡(α+β)} である。

(2) A から反時計回りに測った X の偏角を θ とする。点の順序より 7π6≦θ≦2π である。

まず △XAB の面積を求める。円周上の順序を A,B,X と見て(1)を用いると、[XAB]=12{sin⁡π2+sin⁡(θ−π2)−sin⁡θ}である。すなわち [XAB]=12(1−cos⁡θ−sin⁡θ) である。

次に △XCD について、円周上の順序を C,D,X と見る。∠COD=π3 であり、D の偏角は 7π6、C の偏角は 5π6 であるから[XCD]=12{sin⁡π3+sin⁡(θ−7π6)−sin⁡(θ−5π6)}である。ここでsin⁡(θ−7π6)−sin⁡(θ−5π6)=cos⁡θなので [XCD]=34+12cos⁡θ である。

したがって面積の和は [XAB]+[XCD]=12+34−12sin⁡θ である。7π6≦θ≦2π において、−sin⁡θ が最大になるのは θ=3π2 のときである。よって最大値は 1+34 である。このとき、通常の小さい方の角 ∠AOX は π2 である。

別解

解法2

方針

円周上の点を偏角で座標表示し、三角形の面積を2次行列式で計算する。(2)は面積和を sin⁡θ の一次式まで整理して最大化する。

解答

(1)
回転して P=(1,0) としてよい。このときQ=(cos⁡α,sin⁡α),R=(cos⁡(α+β),sin⁡(α+β)).行列式で面積を計算すると2[PQR]=det⁡(Q−P,R−P)=sin⁡α+sin⁡β−sin⁡(α+β).点の順序と角の範囲から右辺は正であるから、絶対値を付ける必要はない。これで所要の式を得る。

(2)
A の偏角を0、X の偏角を θ とすれば7π6≦θ≦2π.(1)の行列式公式を A,B,X と C,D,X に適用すると[XAB]=12(1−cos⁡θ−sin⁡θ),[XCD]=34+12cos⁡θ.したがって[XAB]+[XCD]=12+34−12sin⁡θ.指定区間では −sin⁡θ≦1 で、等号は θ=3π/2 のときである。よって最大値は1+34.このとき OA と OX の小さい方のなす角は∠AOX=π2.

総評

難度6、目安時間24分。中心から頂点へ線を引いて面積を分解する発想が(1)の要点であり、(2)でもそのまま使う。X の偏角 θ は反時計回りには [7π/6,2π] にあるが、最後に答える ∠AOX は小さい方の角である点に注意する。面積和が sin⁡θ だけに整理されるので、最大化自体は単純である。

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出典: 東北大学 2018年度 後期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。