東北大学 2018年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

点 $O$ を中心とする半径1の円を $S$ とする。

(1) $S$ の周上に3点 $P, Q, R$ がこの順に反時計回りに並んでいる。 $α = ∠ P O Q$ 、 $β = ∠ QO R$ とし、

0 < α < π, 0 < β < π

とする。三角形 $P QR$ の面積が

\frac{1}{2} {sin α + sin β - sin (α + β)}

で与えられることを示せ。

(2) $S$ の周上に5点 $A, B, C, D, X$ がこの順に反時計回りに並んでいる。ただし、

∠ A O B = \frac{π}{2}, ∠ B O C = \frac{π}{3}, ∠ C O D = \frac{π}{3}

であり、点 $X$ は $D$ と $A$ の間を動くものとする。三角形 $X A B$ と三角形 $X C D$ の面積の和の最大値を求めよ。また、そのときの $∠ A O X$ を求めよ。

出典：東北大学 2018年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

解法1

(1)は半径1の円の中心 $O$ と各頂点を結び、 $△ O P Q$ 、 $△ O QR$ から $△ O P R$ を引く面積分解で示す。(2)は $A$ から反時計回りに測った $X$ の偏角を $θ$ と置く。点の順序から $7 π /6 ≦ θ ≦ 2 π$ である。(1)を $△ X A B$ と $△ X C D$ に適用し、面積和を $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} sin θ$ に整理して最大化する。

解法2

円周上の点を偏角で座標表示し、三角形の面積を2次行列式で計算する。(2)は面積和を $sin θ$ の一次式まで整理して最大化する。

解答

解法1

(1)

半径1の円なので $O P = O Q = O R = 1$ である。点 $P, Q, R$ がこの順に反時計回りに並ぶので、中心 $O$ と結ぶと、三角形 $P QR$ の面積は $△ O P Q + △ O QR - △ O P R$ で求められる。

それぞれの面積は、2辺とその間の角から

[O P Q] = \frac{1}{2} sin α, [O QR] = \frac{1}{2} sin β, [O P R] = \frac{1}{2} sin (α + β)

である。したがって $[P QR] = \frac{1}{2} {sin α + sin β - sin (α + β)}$ である。

(2)

$A$ から反時計回りに測った $X$ の偏角を $θ$ とする。点の順序より $\frac{7 π}{6} ≦ θ ≦ 2 π$ である。

まず $△ X A B$ の面積を求める。円周上の順序を $A, B, X$ と見て(1)を用いると、

[X A B] = \frac{1}{2} {sin \frac{π}{2} + sin (θ - \frac{π}{2}) - sin θ}

である。すなわち $[X A B] = \frac{1}{2} (1 - cos θ - sin θ)$ である。

次に $△ X C D$ について、円周上の順序を $C, D, X$ と見る。 $∠ C O D = \frac{π}{3}$ であり、 $D$ の偏角は $\frac{7 π}{6}$ 、 $C$ の偏角は $\frac{5 π}{6}$ であるから

[X C D] = \frac{1}{2} {sin \frac{π}{3} + sin (θ - \frac{7 π}{6}) - sin (θ - \frac{5 π}{6})}

である。ここで

sin (θ - \frac{7 π}{6}) - sin (θ - \frac{5 π}{6}) = cos θ

なので $[X C D] = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} cos θ$ である。

したがって面積の和は $[X A B] + [X C D] = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} sin θ$ である。 $\frac{7 π}{6} ≦ θ ≦ 2 π$ において、 $- sin θ$ が最大になるのは $θ = \frac{3 π}{2}$ のときである。よって最大値は $1 + \frac{3}{4}$ である。このとき、通常の小さい方の角 $∠ A O X$ は $\frac{π}{2}$ である。

解法2

(1)

回転して $P = (1, 0)$ としてよい。このとき

Q = (cos α, sin α), R = (cos (α + β), sin (α + β)) .

行列式で面積を計算すると

2 [P QR] = det (Q - P, R - P) = sin α + sin β - sin (α + β) .

点の順序と角の範囲から右辺は正であるから、絶対値を付ける必要はない。これで所要の式を得る。

(2)

$A$ の偏角を0、 $X$ の偏角を $θ$ とすれば

\frac{7 π}{6} ≦ θ ≦ 2 π .

(1)の行列式公式を $A, B, X$ と $C, D, X$ に適用すると

[X A B] = \frac{1}{2} (1 - cos θ - sin θ),

[X C D] = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} cos θ .

したがって

[X A B] + [X C D] = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} sin θ .

指定区間では $- sin θ ≦ 1$ で、等号は $θ = 3 π /2$ のときである。よって最大値は

1 + \frac{3}{4} .

このとき $O A$ と $O X$ の小さい方のなす角は

∠ A O X = \frac{π}{2} .

東北大学 2018年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東北大学 2018年度
後期・理系数学後期第2問