東北大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $$A=2\sin x+\sin y,B=2\cos x+\cos y$$ である。両方を2乗して足すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^2+B^2}& {\displaystyle =(2\sin x+\sin y{)}^2+(2\cos x+\cos y{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)+({\sin }^{2}y+{\cos }^{2}y)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +4(\sin x\sin y+\cos x\cos y)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4+1+4\cos (x-y)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5+4\cos (x-y)}\end{array}$$である。したがって である。

(2) $A=1$ とする。(1)より $$\cos (x-y)=\frac{1+B^2-5}{4}=\frac{B^2-4}{4}$$ である。常に $-1\leqq \cos (x-y)\leqq 1$ だから $$-1\leqq \frac{B^2-4}{4}\leqq 1$$ である。これを整理すると $0\leqq B^2\leqq 8$ である。したがって $$-2\sqrt{2}\leqq B\leqq 2\sqrt{2}$$ である。

次に、この両端が実際に達成されることを確認する。$B^2=8$ となるには $$\frac{B^2-4}{4}=1$$ すなわち $\cos (x-y)=1$ であればよい。これは $x$ と $y$ が同じ向き、つまり三角比が同じ値になる場合に実現できる。このとき $$\sin y=\sin x,\cos y=\cos x$$ であるから $$A=3\sin x,B=3\cos x$$ である。 $A=1$ より $3\sin x=1$ なので $\sin x=\frac{1}{3}$ である。このとき $${\cos }^{2}x=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$$ だから $$\cos x=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ である。 $\cos x=2\sqrt{2}\mathrm{/}3$ のとき $B=3\cos x=2\sqrt{2}$ であり、これが最大値である。$\cos x=-2\sqrt{2}\mathrm{/}3$ のとき $B=3\cos x=-2\sqrt{2}$ であり、これが最小値である。

よって最大値は $\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><msqrt><mn\; mathvariant="bold">2</mn></msqrt></mrow>}$ で、そのとき である。最小値は で、そのとき である。