東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
三角形の面積を $\mathrm{\Delta }$、半周長を $s$ とする。よく知られた面積公式より $\mathrm{\Delta }=rs$ であり、また外接円半径を用いると $$\mathrm{\Delta }=\frac{abc}{4R}$$ である。正弦定理より $$a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$$ なので $$\mathrm{\Delta }=2R^2\sin A\sin B\sin C$$ である。一方 $$s=\frac{a+b+c}{2}=R(\sin A+\sin B+\sin C)$$ である。したがって$$\frac{r}{R}=\frac{\mathrm{\Delta }}{sR}=\frac{2\sin A\sin B\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}$$である。

ここで $A=2\alpha$、$B=2\beta$、$C=2\gamma$ であり、$$\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}$$ である。このとき $$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$$ が成り立つ。また $$\sin A=2\sin \alpha \cos \alpha$$ などであるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h=\frac{r}{R}}& {\displaystyle =\frac{2\cdot 8\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }{4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }\end{array}$$である。

(2)
直角三角形であるとする。たとえば $$A=\frac{\pi }{2}$$ としてよい。このとき $$\alpha =\frac{\pi }{4},\beta +\gamma =\frac{\pi }{4}$$ である。(1)より $$h=4\sin \frac{\pi }{4}\sin \beta \sin \gamma =2\sqrt{2}\sin \beta \sin \gamma$$ である。

和 $\beta +\gamma$ が一定のとき、$$\sin \beta \sin \gamma \leqq {\sin }^2\frac{\beta +\gamma }{2}$$ であり、等号は $\beta =\gamma$ のときである。したがって $h\leqq 2\sqrt{2}{\sin }^2\frac{\pi }{8}$ である。さらに $${\sin }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1-\cos \frac{\pi }{4}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$$ だから $h\leqq \sqrt{2}-1$ である。等号は $$\beta =\gamma =\frac{\pi }{8}$$ のとき、すなわち直角をはさむ2角が等しい直角二等辺三角形のときに成り立つ。

(3)
一般の三角形では $$\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}$$ である。2つの正の角 $x,y$ について、和を一定にすると $$\sin x\sin y\leqq {\sin }^2\frac{x+y}{2}$$ であり、等号は $x=y$ のときである。したがって、$\alpha ,\beta ,\gamma$ のうち等しくない2つを平均に置き換えると、$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$ は小さくならない。

これを繰り返すと、積が最大になるのは $$\alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi }{6}$$ のときである。よって$$h=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \leqq 4{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{2}$$である。等号は $\alpha =\beta =\gamma$ すなわち $A=B=C$ のときであり、三角形 $ABC$ が正三角形のときに限る。

設問(1)の半角公式を得た後、$\log (\sin x)$ の凹性を使って、和が一定の正の角の正弦積は角が等しいとき最大になることを一度に示す。

(1)
面積公式 $\mathrm{\Delta }=rs=abc\mathrm{/}(4R)$ と正弦定理から整理すると$$\frac{r}{R}=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$ここで $f(x)=\log (\sin x)$ とおくと$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$$だから $f$ は凹関数（高校数学の表現では上に凸）である。

(2)
直角三角形では、例えば $\alpha =\pi \mathrm{/}4$、$\beta +\gamma =\pi \mathrm{/}4$ である。$f$ の凹性から $f(\beta )+f(\gamma )$ は $\beta =\gamma =\pi \mathrm{/}8$ で最大となるので$$h\leqq 2\sqrt{2}{\sin }^2\frac{\pi }{8}=\sqrt{2}-1.$$等号は直角二等辺三角形のときである。

(3)
一般には同様に、$$\alpha +\beta +\gamma =\pi \mathrm{/}2$$ のもとで正弦積は$$\alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi }{6}$$のとき最大である。したがって$$h\leqq 4{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{2},$$等号は正三角形のときに限る。