東北大学 2018年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

三角形 $A B C$ の内接円の半径を $r$ 、外接円の半径を $R$ とし、

h = \frac{r}{R}

とする。また、 $∠ A = 2 α$ 、 $∠ B = 2 β$ 、 $∠ C = 2 γ$ とおく。

(1) $h = 4 sin α sin β sin γ$ となることを示せ。

(2)三角形 $A B C$ が直角三角形のとき $h ≦ 2 - 1$ が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。

(3)一般の三角形 $A B C$ に対して

h ≦ \frac{1}{2}

が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。

出典：東北大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

解法1

面積を $Δ$ 、半周長を $s$ とし、 $Δ = r s$ と $Δ = ab c / (4 R)$ 、さらに正弦定理 $a = 2 R sin A$ を組み合わせる。 $A = 2 α$ などを代入し、 $α + β + γ = π /2$ から $sin A + sin B + sin C = 4 cos α cos β cos γ$ を使う。(2)(3)は $h = 4 sin α sin β sin γ$ の最大化で、和が一定のもとで2つの角を平均化すると積が増えることを用いる。

解法2（対数の凹性で最大化）

設問(1)の半角公式を得た後、 $lo g (sin x)$ の凹性を使って、和が一定の正の角の正弦積は角が等しいとき最大になることを一度に示す。

解答

解法1

(1)

三角形の面積を $Δ$ 、半周長を $s$ とする。よく知られた面積公式より $Δ = r s$ であり、また外接円半径を用いると $Δ = \frac{ab c}{4 R}$ である。正弦定理より $a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C$ なので $Δ = 2 R^{2} sin A sin B sin C$ である。一方 $s = \frac{a + b + c}{2} = R (sin A + sin B + sin C)$ である。したがって

\frac{r}{R} = \frac{Δ}{s R} = \frac{2 sin A sin B sin C}{sin A + sin B + sin C}

である。

ここで $A = 2 α$ 、 $B = 2 β$ 、 $C = 2 γ$ であり、 $α + β + γ = \frac{π}{2}$ である。このとき $sin A + sin B + sin C = 4 cos α cos β cos γ$ が成り立つ。また $sin A = 2 sin α cos α$ などであるから

h = \frac{r}{R} = \frac{2 \cdot 8 sin α sin β sin γ cos α cos β cos γ}{4 cos α cos β cos γ} = 4 sin α sin β sin γ

である。

(2)

直角三角形であるとする。たとえば $A = \frac{π}{2}$ としてよい。このとき $α = \frac{π}{4}, β + γ = \frac{π}{4}$ である。(1)より $h = 4 sin \frac{π}{4} sin β sin γ = 22 sin β sin γ$ である。

和 $β + γ$ が一定のとき、 $sin β sin γ ≦ sin^{2} \frac{β + γ}{2}$ であり、等号は $β = γ$ のときである。したがって $h ≦ 22 sin^{2} \frac{π}{8}$ である。さらに $sin^{2} \frac{π}{8} = \frac{1 - c o s \frac{π}{4}}{2} = \frac{2 - 2}{4}$ だから $h ≦ 2 - 1$ である。等号は $β = γ = \frac{π}{8}$ のとき、すなわち直角をはさむ2角が等しい直角二等辺三角形のときに成り立つ。

(3)

一般の三角形では $α + β + γ = \frac{π}{2}$ である。2つの正の角 $x, y$ について、和を一定にすると $sin x sin y ≦ sin^{2} \frac{x + y}{2}$ であり、等号は $x = y$ のときである。したがって、 $α, β, γ$ のうち等しくない2つを平均に置き換えると、 $sin α sin β sin γ$ は小さくならない。

これを繰り返すと、積が最大になるのは $α = β = γ = \frac{π}{6}$ のときである。よって

h = 4 sin α sin β sin γ ≦ 4 (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{2}

である。等号は $α = β = γ$ すなわち $A = B = C$ のときであり、三角形 $A B C$ が正三角形のときに限る。

解法2（対数の凹性で最大化）

(1)

面積公式 $Δ = r s = ab c / (4 R)$ と正弦定理から整理すると

\frac{r}{R} = 4 sin α sin β sin γ, α + β + γ = \frac{π}{2} .

ここで $f (x) = lo g (sin x)$ とおくと

f^{''} (x) = - \frac{1}{sin ^{2} x} < 0

だから $f$ は凹関数（高校数学の表現では上に凸）である。

(2)

直角三角形では、例えば $α = π /4$ 、 $β + γ = π /4$ である。 $f$ の凹性から $f (β) + f (γ)$ は $β = γ = π /8$ で最大となるので

h ≦ 22 sin^{2} \frac{π}{8} = 2 - 1.

等号は直角二等辺三角形のときである。

(3)

一般には同様に、 $α + β + γ = π /2$ のもとで正弦積は

α = β = γ = \frac{π}{6}

のとき最大である。したがって

h ≦ 4 (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{2},

等号は正三角形のときに限る。

東北大学 2018年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解法1

解法2（対数の凹性で最大化）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（対数の凹性で最大化）

(1)

(2)

(3)

東北大学 2018年度
理系数学前期第4問