東北大学 2019年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とする。

(1) 次の等式が成り立つことを示せ。

{1 + 2 k = 1 \sum n cos (k x)} sin \frac{x}{2} = sin ((n + \frac{1}{2}) x)

(2) 次の方程式の解 $x$ をすべて求めよ。

k = 1 \sum n cos (k x) = 0

出典：東北大学 2019年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

解法1（積和公式で望遠和を作る）

(1)は積和公式 $2 sin \frac{x}{2} cos k x$ を使い、 $k = 1$ から $n$ まで足すと中間項が消えることを示す。(2)では $x = 2 mπ$ が解でないことを先に除外し、(1)の恒等式に $\sum cos (k x) = 0$ を代入する。あとは $sin A = sin B$ の一般解を2種類に分け、最初の種類では $x = 2 mπ$ を除外する。

解法2（余弦の和の公式で因数分解する）

余弦の等差数列の和を $sin (n x /2) cos ((n + 1) x /2) / sin (x /2)$ と表す。(1)を導いた後、(2)は分子の2因子をそれぞれ0とし、分母が0になる値だけを除く。

解答

解法1（積和公式で望遠和を作る）

(1)

積和公式より

2 sin \frac{x}{2} cos (k x) = sin (k + \frac{1}{2}) x - sin (k - \frac{1}{2}) x

である。これを $k = 1, 2, \dots, n$ について足すと、右辺の中間項が打ち消し合い、

2 k = 1 \sum n cos (k x) sin \frac{x}{2} = sin (n + \frac{1}{2}) x - sin \frac{x}{2}

を得る。両辺に $sin \frac{x}{2}$ を加えると

{1 + 2 k = 1 \sum n cos (k x)} sin \frac{x}{2} = sin (n + \frac{1}{2}) x

である。よって示された等式が成り立つ。

(2)

$x = 2 mπ$ のとき、 $cos (k x) = 1$ だから $\sum_{k = 1}^{n} cos (k x) = n$ となり、解ではない。したがって以下では $sin \frac{x}{2} \neq = 0$ としてよい。 $\sum_{k = 1}^{n} cos (k x) = 0$ とすると、(1)より $sin (n + \frac{1}{2}) x = sin \frac{x}{2}$ である。 $sin A = sin B$ の一般解を用いると、 $(n + \frac{1}{2}) x = \frac{x}{2} + 2 l π$ または $(n + \frac{1}{2}) x = π - \frac{x}{2} + 2 l π$ である。前者から $x = \frac{2 l π}{n}$ を得る。ただし $l$ が $n$ の倍数のときは $x = 2 mπ$ となり解ではない。

後者からは $(n + 1) x = (2 l + 1) π$ なので $x = \frac{( 2 l + 1 ) π}{n + 1}$ を得る。こちらは $x = 2 mπ$ にはならない。

以上より、求める解は

x = \frac{2 l π}{n} (l \in Z, n ∤ l), x = \frac{( 2 l + 1 ) π}{n + 1} (l \in Z)

である。

解法2（余弦の和の公式で因数分解する）

(1)

$sin (x /2) \neq = 0$ のとき、余弦の和の公式から

k = 1 \sum n cos (k x) = \frac{sin \frac{n x}{2} cos \frac{( n + 1 ) x}{2}}{sin \frac{x}{2}} .

したがって

(1 + 2 k = 1 \sum n cos (k x)) sin \frac{x}{2} = sin \frac{x}{2} + 2 sin \frac{n x}{2} cos \frac{( n + 1 ) x}{2} = sin (n + \frac{1}{2}) x .

$sin (x /2) = 0$ の場合も両辺は0なので、等式はすべての実数 $x$ で成り立つ。

(2)

$x = 2 mπ$ では和が $n$ となるため解ではない。したがって $sin (x /2) \neq = 0$ としてよい。和の公式から

sin \frac{n x}{2} cos \frac{( n + 1 ) x}{2} = 0.

第1因子が0なら

x = \frac{2 l π}{n} .

ただし $l$ が $n$ の倍数なら $x = 2 mπ$ となるので除く。第2因子が0なら

x = \frac{( 2 l + 1 ) π}{n + 1} .

ゆえに

x = \frac{2 l π}{n} (l \in Z, n ∤ l), x = \frac{( 2 l + 1 ) π}{n + 1} (l \in Z) .

東北大学 2019年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解法1（積和公式で望遠和を作る）

解法2（余弦の和の公式で因数分解する）

解答

解法1（積和公式で望遠和を作る）

(1)

(2)

解法2（余弦の和の公式で因数分解する）

(1)

(2)

東北大学 2019年度
後期・理系数学後期第2問