東北大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
積和公式より$$2\sin \frac{x}{2}\cos (kx)=\sin (k+\frac{1}{2})x-\sin (k-\frac{1}{2})x$$である。これを $k=1,2,\dots ,n$ について足すと、右辺の中間項が打ち消し合い、$$2\sum _{k=1}^n\cos (kx)\sin \frac{x}{2}=\sin (n+\frac{1}{2})x-\sin \frac{x}{2}$$を得る。両辺に $\sin \frac{x}{2}$ を加えると$$\{1+2\sum _{k=1}^n\cos (kx)\}\sin \frac{x}{2}=\sin (n+\frac{1}{2})x$$である。よって示された等式が成り立つ。

(2) $x=2m\pi$ のとき、$\cos (kx)=1$ だから $$\sum _{k=1}^n\cos (kx)=n$$ となり、解ではない。したがって以下では $\sin \frac{x}{2}\mathrm{\ne }0$ としてよい。 $$\sum _{k=1}^n\cos (kx)=0$$ とすると、(1)より $$\sin (n+\frac{1}{2})x=\sin \frac{x}{2}$$ である。$\sin A=\sin B$ の一般解を用いると、$$(n+\frac{1}{2})x=\frac{x}{2}+2l\pi$$ または $$(n+\frac{1}{2})x=\pi -\frac{x}{2}+2l\pi$$ である。前者から $$x=\frac{2l\pi }{n}$$ を得る。ただし $l$ が $n$ の倍数のときは $x=2m\pi$ となり解ではない。

後者からは $(n+1)x=(2l+1)\pi$ なので $$x=\frac{(2l+1)\pi }{n+1}$$ を得る。こちらは $x=2m\pi$ にはならない。

以上より、求める解は$$x=\frac{2l\pi }{n}(l\in \mathbb{Z},n\nmid l),x=\frac{(2l+1)\pi }{n+1}(l\in \mathbb{Z})$$である。

余弦の等差数列の和を $\sin (nx\mathrm{/}2)\cos ((n+1)x\mathrm{/}2)\mathrm{/}\sin (x\mathrm{/}2)$ と表す。(1)を導いた後、(2)は分子の2因子をそれぞれ0とし、分母が0になる値だけを除く。

(1)
$\sin (x\mathrm{/}2)\mathrm{\ne }0$ のとき、余弦の和の公式から$$\sum _{k=1}^n\cos (kx)=\frac{\sin \frac{nx}{2}\cos \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1+2\sum _{k=1}^n\cos (kx))\sin \frac{x}{2}}& {\displaystyle =\sin \frac{x}{2}+2\sin \frac{nx}{2}\cos \frac{(n+1)x}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin (n+\frac{1}{2})x\mathrm{.}}\end{array}$$$\sin (x\mathrm{/}2)=0$ の場合も両辺は0なので、等式はすべての実数 $x$ で成り立つ。

(2)
$x=2m\pi$ では和が $n$ となるため解ではない。したがって $\sin (x\mathrm{/}2)\mathrm{\ne }0$ としてよい。和の公式から$$\sin \frac{nx}{2}\cos \frac{(n+1)x}{2}=0.$$第1因子が0なら$$x=\frac{2l\pi }{n}\mathrm{.}$$ただし $l$ が $n$ の倍数なら $x=2m\pi$ となるので除く。第2因子が0なら$$x=\frac{(2l+1)\pi }{n+1}\mathrm{.}$$ゆえに$$x=\frac{2l\pi }{n}(l\in \mathbb{Z},n\nmid l),x=\frac{(2l+1)\pi }{n+1}(l\in \mathbb{Z})\mathrm{.}$$