東北大学 2019年度
理系数学 前期 第3問

解答

解法1（単調性と有界性を使う）

(1)

$a>0$ とする。$x_1=a>0$ であり、$x_n>0$ なら $x_{n+1}=x_n+x_n^2>x_n>0$ である。したがって帰納法により、すべての $n$ で $x_n>0$ かつ $x_n\geqq a$ である。

さらに $x_{n+1}-x_n=x_n^2\geqq a^2$ だから、$x_n\geqq a+(n-1)a^2$ である。右辺は $n\to \infty$ で無限大へ発散するので、$x_n\to \infty$ である。したがって数列 $\{x_n\}$ は発散する。

(2)

$-1<a<0$ とする。$x_1=a$ なので $-1<x_1<0$ である。いま $-1<x_n<0$ と仮定すると $0<1+x_n<1$ であり、$x_{n+1}=x_n(1+x_n)$ である。ここで $x_n<0$、$1+x_n>0$ だから $x_{n+1}<0$ である。また $|x_{n+1}|=|x_n|(1+x_n)<|x_n|<1$ なので $x_{n+1}>-1$ である。したがって $-1<x_{n+1}<0$ である。数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $-1<x_n<0$ が成り立つ。

(3)

(2)より $x_n<0$ であり、また $x_{n+1}-x_n=x_n^2>0$ なので、数列 $\{x_n\}$ は単調増加である。さらに $x_n<0$ だから上に有界である。よって極限 $L$ が存在する。

漸化式の両辺で極限を取ると $L=L+L^2$ である。したがって $L^2=0$ より ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=0$ である。

解法2（逆数で極限を直接押さえる）

(1)

$a>0$ なら $x_{n+1}-x_n=x_n^2>0$ なので $x_n\geqq a$ である。したがって

よって $x_n\to \infty$ である。

(2)

$-1<x_n<0$ と仮定すると

であり、また $0<1+x_n<1$ だから

初期値 $-1<a<0$ と合わせ、帰納法により $-1<x_n<0$ が続く。

(3)

(2)より

とおける。漸化式から

したがって $y_n>y_1+n-1$ であり、$y_n\to \infty$ である。ゆえに