東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
二項定理より $(x+i{)}^7-(x-i{)}^7$ では，$i$の偶数乗を含む項は打ち消し合い，奇数乗を含む項だけが残る。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(x)}& {\displaystyle =\frac{1}{2i}\{2\cdot {}_7{\mathrm{C}}_1{x}^{6}i+2\cdot {}_7{\mathrm{C}}_3{x}^4{i}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2\cdot {}_7{\mathrm{C}}_5{x}^2{i}^5+2\cdot {}_7{\mathrm{C}}_7{i}^7\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =7x^6-35x^4+21x^2-1}\end{array}$$である。よって$$a_0=0,a_1=7,a_2=0,a_3=-35,a_4=0,a_5=21,a_6=0,a_7=-1$$である。

(2) $0<\theta <\pi$なので$\sin \theta >0$である。$$x={\displaystyle \frac{\cos \theta }{\sin \theta }}$$とおくと$$x+i=\frac{\cos \theta +i\sin \theta }{\sin \theta },x-i=\frac{\cos \theta -i\sin \theta }{\sin \theta }$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P\left(\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\right)}& {\displaystyle =\frac{1}{2i}\cdot \frac{(\cos \theta +i\sin \theta {)}^7-(\cos \theta -i\sin \theta {)}^7}{{\sin }^7\theta }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sin 7\theta }{{\sin }^7\theta }}\end{array}$$である。

(3)
(1)より $Q(x)=7x^3-35x^2+21x-1$ であり，また $P(X)=Q(X^2)$ である。 $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{7}}$$とする。$k=1,2,3$では$0<k\theta <\pi$であり，(2)を$k\theta$に適用できる。すると$$P\left(\frac{\cos k\theta }{\sin k\theta }\right)=\frac{\sin 7k\theta }{{\sin }^{7}k\theta }=\frac{\sin k\pi }{{\sin }^{7}k\theta }=0$$である。左辺は$$P\left(\frac{\cos k\theta }{\sin k\theta }\right)=Q\left(\frac{{\cos }^{2}k\theta }{{\sin }^{2}k\theta }\right)=Q(x_k)$$であるから $Q(x_k)=0$ である。 ここで$$0<\theta <2\theta <3\theta <\pi \mathrm{/}2$$であり，$\cot u$はこの区間で正かつ狭義に減少する。したがって$x_1,x_2,x_3$は正で互いに異なる。3次方程式 $7x^3-35x^2+21x-1=0$ の3つの根が$x_1,x_2,x_3$なので，解と係数の関係より $$x_1+x_2+x_3=-\frac{-35}{7}=5$$ である。

(1) で得た$P(x)$へ$x=\cot \theta$を直接代入し，分母を${\sin }^7\theta$へそろえる。分子は7倍角の加法定理を展開した$\sin 7\theta$そのものである。(3)は$P(X)=Q(X^2)$を用いて3つの${\cot }^2(k\pi \mathrm{/}7)$を$Q$の相異なる根と確定し，解と係数の関係で和だけを読む。

(1) 二項展開で奇数乗の$i$を含む項だけを残すと$$P(x)=7x^6-35x^4+21x^2-1.$$したがって$$(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)=(0,7,0,-35,0,21,0,-1)\mathrm{.}$$(2) $x=\cot \theta$を(1)の式へ代入すると$$P(\cot \theta )=\frac{7{\cos }^6\theta \sin \theta -35{\cos }^4\theta {\sin }^3\theta +21{\cos }^2\theta {\sin }^5\theta -{\sin }^7\theta }{{\sin }^7\theta }\mathrm{.}$$ここで$S_n=\sin n\theta$，$c=\cos \theta$，$s=\sin \theta$とおく。加法定理から$$S_{n+1}=2c{S}_n-S_{n-1},S_0=0,S_1=s$$である。順に代入すれば$$\begin{array}{cl}n& S_n\mathrm{/}s\\ 3& 4c^2-1\\ 4& 8c^3-4c\\ 5& 16c^4-12c^2+1\\ 6& 32c^5-32c^3+6c\\ 7& 64c^6-80c^4+24c^2-1\end{array}$$を得る。$s^2=1-c^2$を使うと最終行は$$S_7=7s{c}^6-35s^3{c}^4+21s^5{c}^2-s^7$$と書き直せる。よって分子は$\sin 7\theta$に等しい。$0<\theta <\pi$では$\sin \theta \mathrm{\ne }0$だから$$P\left(\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\right)=\frac{\sin 7\theta }{{\sin }^7\theta }\mathrm{.}$$(3) (1)より$$Q(x)=7x^3-35x^2+21x-1,P(X)=Q(X^2)\mathrm{.}$$$\theta =\pi \mathrm{/}7$とおくと，$k=1,2,3$に対して$$Q({\cot }^{2}k\theta )=P(\cot k\theta )=\frac{\sin 7k\theta }{{\sin }^{7}k\theta }=0.$$さらに$$0<\theta <2\theta <3\theta <\pi \mathrm{/}2$$であり，$\cot u$はこの区間で正かつ狭義に減少するから，これら3数は相異なる。よってこれらが3次方程式$Q(x)=0$の3根である。解と係数の関係より$$x_1+x_2+x_3=-\frac{-35}{7}=5.$$