東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

$g(t)=\sin (t-x)-\sin 2t$とおく。和積公式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(t)}& {\displaystyle =2\cos \frac{3t-x}{2}\sin (-\frac{t+x}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2\sin \frac{t+x}{2}\cos \frac{3t-x}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$$0\leqq x,t\leqq \pi$では$\sin ((t+x)\mathrm{/}2)\geqq 0$である。符号変化点は$$\frac{3t-x}{2}=\frac{\pi }{2}⟺r=\frac{\pi +x}{3},\frac{\pi }{3}\leqq r\leqq \frac{2\pi }{3}$$であり，$0\leqq t<r$で$g(t)\leqq 0$，$r<t\leqq \pi$で$g(t)\geqq 0$となる。したがって$$f(x)=-{\int }_0^{r}g(t)dt+{\int }_r^{\pi }g(t)dt\mathrm{.}$$原始関数は$$\int g(t)dt=-\cos (t-x)+\frac{1}{2}\cos 2t$$であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =-{[-\cos (t-x)+\frac{1}{2}\cos 2t]}_0^r+{[-\cos (t-x)+\frac{1}{2}\cos 2t]}_r^{\pi }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cos (r-x)-\cos 2r+1.}\end{array}$$ここで$$r-x=\frac{\pi -2x}{3},2r=\frac{2\pi +2x}{3}$$を代入して整理すると$$f(x)=3\sin (\frac{2x}{3}+\frac{\pi }{6})+1.$$$0\leqq x\leqq \pi$では角の範囲が$$\frac{\pi }{6}\leqq \frac{2x}{3}+\frac{\pi }{6}\leqq \frac{5\pi }{6}$$となる。よって$x=\pi \mathrm{/}2$のとき最大値$4$，$x=0,\pi$のとき最小値$5\mathrm{/}2$をとる。

積分をパラメータで微分せず，絶対値の三角不等式と補助符号関数で上下から評価する。上側は$\mid a-b\mid \leqq \mid a\mid +\mid b\mid$を積分し，$x=\pi \mathrm{/}2$で等号を確認する。下側は$x=0$での被積分関数の符号に合わせた$\epsilon (t)\in \{-1,1\}$を掛けて積分し，さらに$f(\pi -x)=f(x)$を併用して一様な下界$5\mathrm{/}2$を作る。

まず三角不等式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle \leqq {\int }_0^{\pi }\mid \sin (t-x)\mid dt+{\int }_0^{\pi }\mid \sin 2t\mid dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+2=4.}\end{array}$$第1の積分は$u=t-x$とおけば，長さ$\pi$の区間における$\mid \sin u\mid$の積分なので2である。$x=\pi \mathrm{/}2$のとき$$\sin (t-\frac{\pi }{2})\sin 2t=-2\sin t{\cos }^{2}t\leqq 0$$であるから，ほとんどすべての$t$で2項の符号が反対になり，上の三角不等式で等号が成り立つ。よって最大値は4である。

次に$$\epsilon (t)=\{\begin{array}{ll}-1& (0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}),\\ 1& ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}<t\leqq \pi )\end{array}$$とおく。$$\mid \epsilon (t)\mid =1$$より，任意の実数$y$について$$\mid y\mid \geqq \epsilon (t)y$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle \geqq {\int }_0^{\pi }\epsilon (t)\{\sin (t-x)-\sin 2t\}dt\mathrm{.}}\end{array}$$ここで直接計算すると$${\int }_0^{\pi }\epsilon (t)\sin tdt=1,{\int }_0^{\pi }\epsilon (t)\cos tdt=-\sqrt{3},{\int }_0^{\pi }\epsilon (t)\sin 2tdt=-\frac{3}{2}$$であるから$$f(x)\geqq \frac{3}{2}+\cos x+\sqrt{3}\sin x\mathrm{.}$$一方，もとの積分で$t=\pi -u$と置換すると$f(\pi -x)=f(x)$である。上の評価を$\pi -x$に適用して$$f(x)\geqq \frac{3}{2}-\cos x+\sqrt{3}\sin x$$も得る。ゆえに$$f(x)\geqq \frac{3}{2}+\sqrt{3}\sin x+\mid \cos x\mid \mathrm{.}$$$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$では$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin (x+\pi \mathrm{/}6)\geqq 1$$である。$\pi \mathrm{/}2\leqq x\leqq \pi$でも$y=\pi -x$とおけば同じ評価が使える。したがって常に$f(x)\geqq 5\mathrm{/}2$である。最後に，$x=0$では$\sin t-\sin 2t$が$t=\pi \mathrm{/}3$で符号を変えるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(0)}& {\displaystyle =-{\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}(\sin t-\sin 2t)dt+{\int }_{\pi \mathrm{/}3}^{\pi }(\sin t-\sin 2t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$対称性から$f(\pi )=f(0)$でもある。よって最小値は$5\mathrm{/}2$である。