東北大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1)
頂点を$(p,q)$とすると，放物線は $$y=(x-p{)}^2+q=x^2-2px+p^2+q$$ である。したがって $a=-2p,b=p^2+q$ である。$$(p,q)=(\cos \theta ,\sin \theta )$$より $$a=-2\cos \theta ,b={\cos }^2\theta +\sin \theta$$ である。

(2)
円$C$の周を2等分する直線は，円の中心である原点を通る直線である。$x=1$における接線を求める。$y=(x-p{)}^2+q$の導関数は$2(x-p)$なので，接線は $y=2(1-p)(x-1)+(1-p{)}^2+q$ である。これが原点を通る条件は $0=-2(1-p)+(1-p{)}^2+q$ であり，整理して $p^2+q=1$ となる。

一方，頂点は単位円上にあるから $p^2+q^2=1$ である。$q=1-p^2$を代入すると $p^2+(1-p^2{)}^2=1$ すなわち $p^2(p^2-1)=0$ である。よって $$(p,q)=(0,1),(1,0),(-1,0)$$ である。これを$a=-2p$，$b=p^2+q$に代入して $$(a,b)=(0,1),(-2,1),(2,1)$$ を得る。

(3)
接点の$x$座標を$u$とする。接線は $y=2(u-p)(x-u)+(u-p{)}^2+q$ である。これが原点を通る条件は $0=-2u(u-p)+(u-p{)}^2+q$ である。$v=u-p$とおくと$u=v+p$なので $0=-2(v+p)v+v^2+q$ すなわち $v^2+2pv-q=0$ を得る。

原点を通る接線がただ一つ存在するには，この$v$の2次方程式が重解をもてばよい。したがって判別式より $(2p{)}^2+4q=0$ すなわち $p^2+q=0$ である。よって$q=-p^2$であり，さらに$p^2+q^2=1$から $p^2+p^4=1$ を得る。$X=p^2$とおくと $X^2+X-1=0$ であり，$X\geqq 0$より $$p^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ である。このとき $b=p^2+q=0,a=-2p$ だから，求める組は$$(a,b)=(2\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},0),(-2\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},0)$$である。

放物線$y=x^2+ax+b$の接点を$u$とすると，接線の$y$切片は$b-u^2$である。原点を通る条件が直ちに$u^2=b$となるため，接線の本数を平方根の個数として判定する。

(1) 頂点は$$p=-\frac{a}{2},q=b-\frac{a^2}{4}$$である。したがって$$(p,q)=(\cos \theta ,\sin \theta )$$より$$a=-2\cos \theta ,b={\cos }^2\theta +\sin \theta \mathrm{.}$$(2) 接点の$x$座標を$u$とすると接線は$$y=(2u+a)x+b-u^2$$である。円周を2等分するには原点を通ればよいので，条件は$b=u^2$である。$u=1$では$b=1$。頂点が単位円上にある条件へ代入すると$$\frac{a^2}{4}+{(1-\frac{a^2}{4})}^2=1$$より$a=0,\pm 2$を得る。したがって$$(a,b)=(0,1),(2,1),(-2,1)\mathrm{.}$$(3) 原点を通る接線の本数は，方程式$u^2=b$の実数解の個数に等しい。これが1個であるための必要十分条件は$b=0$である。このとき頂点は$$(-\frac{a}{2},-\frac{a^2}{4})$$なので，単位円上の条件は$$\frac{a^2}{4}+\frac{a^4}{16}=1.$$$X=a^2\mathrm{/}4$とおけば$X^2+X-1=0$だから$$X=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\mathrm{.}$$よって$$(a,b)=(2\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},0),(-2\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},0)\mathrm{.}$$