問題
平面における2つの放物線
を考える。
(1) と が異なる2点で交わり、その2交点の 座標の差が1となるように実数 が動くとき、 の頂点 の軌跡を図示せよ。
(2)実数 が (1) の条件を満たしながら動くとき、 と の2交点を結ぶ直線が通過する範囲を求め、図示せよ。
方針
解法1
(1)は文系第1問と同じく、交点の 座標を2次方程式の2解として扱い、解の差が1である条件から頂点の軌跡を出す。(2)では2交点を結ぶ直線の式を を用いて表すと、放物線 の接線族になる。ある点 を通る直線がこの接線族の中に存在する条件を、 についての2次方程式が実数解をもつ条件に直し、通過範囲を求める。
解法2（接線族の包絡線）
2交点を と置き、共通弦を1変数の直線族として表す。通過範囲の境界は隣接する2本の直線の交点の極限、すなわち包絡線として求める。
解答
解法1
(1)
2つの放物線を等置すると である。すなわち交点の 座標は の2解である。2解を とすると である。2交点の 座標の差が1であるから である。したがって である。
よって頂点 の軌跡は である。これは下に開く放物線全体であり、任意の実数 に対して条件を満たす が定まる。
(2)
2交点の 座標を とする。(1)の条件のもとで である。2交点は 、 なので、それらを結ぶ直線の傾きは である。また切片は だから、直線の式は である。
点 がこの直線族のどれかを通る条件を考える。ある実数 について が成り立てばよい。これは という についての2次方程式が実数解をもつことと同値である。判別式は であり、これが0以上であればよい。よって である。
したがって、2交点を結ぶ直線が通過する範囲は である。図示すれば、放物線 上およびその上側の領域である。境界は直線族が接線となる点の集合である。
解法2（接線族の包絡線）
(1)
2交点の 座標を とおく。和と積を交点方程式と比較すると
したがって頂点の軌跡は
である。
(2)
共通弦は
これを
と書く。包絡線上では と が同時に成り立つので、 を代入して
を得る。各直線はこの放物線の接線であり、接線上の点全体は放物線上および上側を埋める。よって通過範囲は
