東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
2つの放物線を等置すると $(x-a{)}^2+b=-x^2$ である。すなわち交点の $x$ 座標は $2x^2-2ax+a^2+b=0$ の2解である。2解を $u,v$ とすると $$u+v=a,uv=\frac{a^2+b}{2}$$ である。2交点の $x$ 座標の差が1であるから $$1=(u-v{)}^2=(u+v{)}^2-4uv=a^2-2(a^2+b)$$ である。したがって $$b=-\frac{a^2+1}{2}$$ である。

よって頂点 $(a,b)$ の軌跡は $$y=-\frac{x^2+1}{2}$$ である。これは下に開く放物線全体であり、任意の実数 $a$ に対して条件を満たす $b$ が定まる。

(2)
2交点の $x$ 座標を $u,v$ とする。(1)の条件のもとで $$u+v=a,uv=\frac{a^2-1}{4}$$ である。2交点は $(u,-u^2)$、$(v,-v^2)$ なので、それらを結ぶ直線の傾きは $$\frac{-u^2+v^2}{u-v}=-(u+v)=-a$$ である。また切片は $uv$ だから、直線の式は $$y=-ax+\frac{a^2-1}{4}$$ である。

点 $(x,y)$ がこの直線族のどれかを通る条件を考える。ある実数 $a$ について $$y=-ax+\frac{a^2-1}{4}$$ が成り立てばよい。これは $a^2-4xa-(4y+1)=0$ という $a$ についての2次方程式が実数解をもつことと同値である。判別式は $$(-4x{)}^2+4(4y+1)=16x^2+16y+4$$ であり、これが0以上であればよい。よって $y\geqq -x^2-\frac{1}{4}$ である。

したがって、2交点を結ぶ直線が通過する範囲は $y\geqq -x^2-\frac{1}{4}$ である。図示すれば、放物線 $y=-x^2-\frac{1}{4}$ 上およびその上側の領域である。境界は直線族が接線となる点の集合である。

2交点を $m\pm 1\mathrm{/}2$ と置き、共通弦を1変数の直線族として表す。通過範囲の境界は隣接する2本の直線の交点の極限、すなわち包絡線として求める。

(1)
2交点の $x$ 座標を $m-\frac{1}{2},m+\frac{1}{2}$ とおく。和と積を交点方程式と比較すると$$a=2m,b=-\frac{a^2+1}{2}\mathrm{.}$$したがって頂点の軌跡は$$y=-\frac{x^2+1}{2}$$である。

(2)
共通弦は$$y=-ax+\frac{a^2-1}{4}\mathrm{.}$$これを$$F(a,x,y)=y+ax-\frac{a^2-1}{4}=0$$と書く。包絡線上では $F=0$ と $\mathrm{\partial }F\mathrm{/}\mathrm{\partial }a=0$ が同時に成り立つので、$a=2x$ を代入して$$y=-x^2-\frac{1}{4}$$を得る。各直線はこの放物線の接線であり、接線上の点全体は放物線上および上側を埋める。よって通過範囲は$$y\geqq -x^2-\frac{1}{4}\mathrm{.}$$