東北大学 2017年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

$a, b, c$ を実数とし， $a \neq = 0$ とする。

I (a, b) J (a, b, c) = \int_{0}^{π /2} e^{a x} cos b x d x, = \int_{0}^{π /2} e^{a x} sin b x sin c x d x

とおく。

(1) $I (a, b)$ を求めよ。

(2) $J (a, b, c)$ を $I (a, b + c)$ と $I (a, b - c)$ を用いて表せ。

(3) 次の極限を求めよ。

t \to \infty lim 8 \int_{0}^{π /2} e^{x} sin t x sin 2 t x cos 3 t x cos 4 t x d x

出典：東北大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

解法1

(1)は $e^{a x} cos b x$ の原始関数を，微分して戻る形で求める。(2)は $sin b x sin c x$ を積和公式で $cos (b - c) x$ と $cos (b + c) x$ に分ける。(3)は4つの三角関数の積を積和公式で余弦の和に展開し，定数項だけが極限に残ることを(1)の評価式から示す。振動項は $I (1, k t)$ の形になり，分母が $1 + k^{2} t^{2}$ で増えるため0に近づく。

解法2

複素指数関数を使い， $I (a, b)$ を複素積分の実部として求める。(3)では三角関数積のフーリエ展開における定数項を取り出し，非零周波数の積分が $O (1/ t)$ で消えることを評価する。

解答

解法1

(1)

\frac{d}{d x} {\frac{e ^{a x} ( a cos b x + b sin b x )}{a ^{2} + b ^{2}}} = e^{a x} cos b x

である。したがって

I (a, b) = [\frac{e ^{a x} ( a cos b x + b sin b x )}{a ^{2} + b ^{2}}]_{0}^{π /2}

であり，

I (a, b) = \frac{e ^{aπ /2} ( a cos \frac{bπ}{2} + b sin \frac{bπ}{2} ) - a}{a ^{2} + b ^{2}}

である。

(2)

積和公式より $sin b x sin c x = \frac{1}{2} {cos (b - c) x - cos (b + c) x}$ である。よって $J (a, b, c) = \frac{1}{2} {I (a, b - c) - I (a, b + c)}$ である。

(3)

$u = t x$ とおく。積和公式を順に用いると

sin u sin 2 u cos 3 u cos 4 u = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} cos 4 u + \frac{1}{8} cos 6 u + \frac{1}{8} cos 8 u - \frac{1}{8} cos 10 u

である。したがって，求める積分を $K_{t}$ とおくと

K_{t} = 8 \int_{0}^{π /2} e^{x} (\frac{1}{8} - \frac{1}{4} cos 4 t x + \frac{1}{8} cos 6 t x + \frac{1}{8} cos 8 t x - \frac{1}{8} cos 10 t x) d x

である。

(1)の式から，正の定数 $k$ に対して $\int_{0}^{π /2} e^{x} cos k t x d x = I (1, k t)$ であり，その絶対値は $t \to \infty$ で0に近づく。実際，分母は $1 + k^{2} t^{2}$ で，分子は高々 $t$ の程度で増えるだけである。

したがって極限に残るのは定数項だけであり， $lim_{t \to \infty} K_{t} = 8 \cdot \frac{1}{8} \int_{0}^{π /2} e^{x} d x = e^{π /2} - 1$ である。

解法2

(1)

$e^{a x} cos b x$ は $e^{(a + ib) x}$ の実部であるから

I (a, b) = ℜ [\frac{e ^{(a + ib) x}}{a + ib}]_{0}^{π /2} .

分母を実数化して実部を取ると

I (a, b) = \frac{e ^{aπ /2} ( a cos \frac{bπ}{2} + b sin \frac{bπ}{2} ) - a}{a ^{2} + b ^{2}} .

(2)

積和公式から

sin b x sin c x = \frac{1}{2} {cos (b - c) x - cos (b + c) x}

なので

J (a, b, c) = \frac{1}{2} {I (a, b - c) - I (a, b + c)} .

(3)

複素指数関数を掛け合わせて同じ周波数をまとめると

8 sin u sin 2 u cos 3 u cos 4 u = 1 - 2 cos 4 u + cos 6 u + cos 8 u - cos 10 u .

したがって求める式は

\int_{0}^{π /2} e^{x} {1 - 2 cos 4 t x + cos 6 t x + cos 8 t x - cos 10 t x} d x

である。正の定数 $m$ について，(1)から

\int_{0}^{π /2} e^{x} cos (m t x) d x ≦ \frac{e ^{π /2} ( 1 + m t ) + 1}{1 + m ^{2} t ^{2}} ⟶ 0.

よって極限に残るのは定数項だけであり，答えは

\int_{0}^{π /2} e^{x} d x = e^{π /2} - 1

である。

東北大学 2017年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

東北大学 2017年度
理系数学前期第6問