東北大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $$\frac{d}{dx}\left\{\frac{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)}{a^2+b^2}\right\}=e^{ax}\cos bx$$である。したがって$$I(a,b)={\left[\frac{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)}{a^2+b^2}\right]}_0^{\pi \mathrm{/}2}$$であり，$$I(a,b)=\frac{e^{a\pi \mathrm{/}2}(a\cos \frac{b\pi }{2}+b\sin \frac{b\pi }{2})-a}{a^2+b^2}$$である。

(2)
積和公式より $$\sin bx\sin cx=\frac{1}{2}\{\cos (b-c)x-\cos (b+c)x\}$$ である。よって $$J(a,b,c)=\frac{1}{2}\{I(a,b-c)-I(a,b+c)\}$$ である。

(3) $u=tx$とおく。積和公式を順に用いると$$\sin u\sin 2u\cos 3u\cos 4u=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\cos 4u+\frac{1}{8}\cos 6u+\frac{1}{8}\cos 8u-\frac{1}{8}\cos 10u$$である。したがって，求める積分を$K_t$とおくと$$K_t=8{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^x(\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\cos 4tx+\frac{1}{8}\cos 6tx+\frac{1}{8}\cos 8tx-\frac{1}{8}\cos 10tx)dx$$である。

(1) の式から，正の定数$k$に対して $${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^x\cos ktxdx=I(1,kt)$$ であり，その絶対値は$t\to \mathrm{\infty }$で0に近づく。実際，分母は$1+k^2{t}^2$で，分子は高々$t$の程度で増えるだけである。

したがって極限に残るのは定数項だけであり，$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{K}_t=8\cdot \frac{1}{8}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^{x}dx=e^{\pi \mathrm{/}2}-1$$ である。

複素指数関数を使い，$I(a,b)$を複素積分の実部として求める。(3)では三角関数積のフーリエ展開における定数項を取り出し，非零周波数の積分が$O(1\mathrm{/}t)$で消えることを評価する。

(1) $e^{ax}\cos bx$は$e^{(a+ib)x}$の実部であるから$$I(a,b)=\mathrm{\Re }{\left[\frac{e^{(a+ib)x}}{a+ib}\right]}_0^{\pi \mathrm{/}2}\mathrm{.}$$分母を実数化して実部を取ると$$I(a,b)=\frac{e^{a\pi \mathrm{/}2}(a\cos \frac{b\pi }{2}+b\sin \frac{b\pi }{2})-a}{a^2+b^2}\mathrm{.}$$(2) 積和公式から$$\sin bx\sin cx=\frac{1}{2}\{\cos (b-c)x-\cos (b+c)x\}$$なので$$J(a,b,c)=\frac{1}{2}\{I(a,b-c)-I(a,b+c)\}\mathrm{.}$$(3) 複素指数関数を掛け合わせて同じ周波数をまとめると$$8\sin u\sin 2u\cos 3u\cos 4u=1-2\cos 4u+\cos 6u+\cos 8u-\cos 10u\mathrm{.}$$したがって求める式は$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^x\{1-2\cos 4tx+\cos 6tx+\cos 8tx-\cos 10tx\}dx$$である。正の定数$m$について，(1)から$$\mid {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^x\cos (mtx)dx\mid \leqq \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}(1+mt)+1}{1+m^2{t}^2}⟶0.$$よって極限に残るのは定数項だけであり，答えは$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^{x}dx=e^{\pi \mathrm{/}2}-1$$である。