東北大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

1人の取り出し方は ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通りである。得点分布は$$\begin{array}{ccccccccccccc}r& 2& \frac{7}{3}& \frac{8}{3}& 3& \frac{10}{3}& \frac{11}{3}& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ N(r)& 1& 1& 2& 3& 2& 1& 2& 2& 2& 2& 1& 1\end{array}$$である。

(1)
得点が3点になる取り出し方は $\{0,1,2\},\{1,3,5\},\{2,3,4\}$ の3通りであり，このうち0を含むものは1通り，0を含まないものは2通りである。双方が3点となる$3^2$通りから，双方とも0を含まない$2^2$通りを除くと，条件を満たす場合は $3^2-2^2=5$ 通りである。したがって確率は $$\frac{5}{{20}^2}=\frac{1}{80}$$ である。

(2)
まず，A君の得点がB君の得点より大きい組数を数える。得点を小さい順に見て，その得点より小さい得点をもつB君の取り出し方の個数を累積すると，A君が勝つ組数は $$0+1+4+12+14+9+20+24+28+32+18+19=181$$ である。

次に，このうちA君の得点が整数でないものを数える。非整数得点$7\mathrm{/}3,8\mathrm{/}3,10\mathrm{/}3,11\mathrm{/}3$に対して，B君の得点がそれより小さい取り出し方の個数は順に $1,2,7,9$ である。よって分子は $$1\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 7+1\cdot 9=28$$ である。したがって求める条件付き確率は $\frac{28}{181}$ である。

得点分布から同点となる組だけを数え，A勝ちとB勝ちの対称性で条件付き確率の分母を出す。分子はAの非整数得点4種類について，Bの累積個数を掛ける。

1人の得点別の個数は$$1,1,2,3,2,1,2,2,2,2,1,1$$である。

(1) 得点3の手は3通りで，0を含まない手は2通りである。よって求める確率は$$\frac{3^2-2^2}{{20}^2}=\frac{1}{80}\mathrm{.}$$(2) 2人が同点となる組数は，各得点の個数の平方を足して$$1^2+1^2+2^2+3^2+2^2+1^2+2^2+2^2+2^2+2^2+1^2+1^2=38$$である。同点でない$400-38=362$組は，A勝ちとB勝ちが入れ替えにより同数だから，Aが勝つ組数は$$\frac{362}{2}=181.$$一方，Aの得点が$7\mathrm{/}3,8\mathrm{/}3,10\mathrm{/}3,11\mathrm{/}3$となる手の個数は$1,2,2,1$であり，それより低いBの手は$1,2,7,9$通りである。したがって分子は$$1\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 7+1\cdot 9=28.$$よって条件付き確率は$$\frac{28}{181}\mathrm{.}$$