東北大学 2017年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

A君とB君はそれぞれ，0から5までの数字が1つずつ書かれた6枚のカードが入った箱を1つもっている。2人は，自分の箱から無作為に3枚のカードを取り出して得点を競う。3枚に0が含まれない場合の得点は3数の平均値，0が含まれる場合の得点は残り2数の合計とする。

(1) A君，B君の少なくとも一方が0を取り出し，しかも双方とも得点が3点となる確率を求めよ。

(2) A君の得点がB君の得点より大きいという条件のもとで，A君の得点が整数でない条件付き確率を求めよ。

出典：東北大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

解法1

文系第4問と同じ得点分布を作り，(1)は双方3点かつ少なくとも一方が0を含む場合を数える。(2)は条件付き確率なので，分母にはA君が勝つ全組数を置く。分子は，そのうちA君の得点が非整数である組数であり，非整数得点ごとにB君の累積個数を掛けて数える。

解法2

得点分布から同点となる組だけを数え，A勝ちとB勝ちの対称性で条件付き確率の分母を出す。分子はAの非整数得点4種類について，Bの累積個数を掛ける。

解答

解法1

1人の取り出し方は $_{6} C_{3} = 20$ 通りである。得点分布は

r N (r) 21 \frac{7}{3} 1 \frac{8}{3} 2 33 \frac{10}{3} 2 \frac{11}{3} 1 425262728191

である。

(1)

得点が3点になる取り出し方は ${0, 1, 2}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}$ の3通りであり，このうち0を含むものは1通り，0を含まないものは2通りである。双方が3点となる $3^{2}$ 通りから，双方とも0を含まない $2^{2}$ 通りを除くと，条件を満たす場合は $3^{2} - 2^{2} = 5$ 通りである。したがって確率は $\frac{5}{2 0 ^{2}} = \frac{1}{80}$ である。

(2)

まず，A君の得点がB君の得点より大きい組数を数える。得点を小さい順に見て，その得点より小さい得点をもつB君の取り出し方の個数を累積すると，A君が勝つ組数は $0 + 1 + 4 + 12 + 14 + 9 + 20 + 24 + 28 + 32 + 18 + 19 = 181$ である。

次に，このうちA君の得点が整数でないものを数える。非整数得点 $7/3, 8/3, 10/3, 11/3$ に対して，B君の得点がそれより小さい取り出し方の個数は順に $1, 2, 7, 9$ である。よって分子は $1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 7 + 1 \cdot 9 = 28$ である。したがって求める条件付き確率は $\frac{28}{181}$ である。

解法2

1人の得点別の個数は

1, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1

である。

(1)

得点3の手は3通りで，0を含まない手は2通りである。よって求める確率は

\frac{3 ^{2} - 2 ^{2}}{2 0 ^{2}} = \frac{1}{80} .

(2)

2人が同点となる組数は，各得点の個数の平方を足して

1^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 1^{2} = 38

である。同点でない $400 - 38 = 362$ 組は，A勝ちとB勝ちが入れ替えにより同数だから，Aが勝つ組数は

\frac{362}{2} = 181.

一方，Aの得点が $7/3, 8/3, 10/3, 11/3$ となる手の個数は $1, 2, 2, 1$ であり，それより低いBの手は $1, 2, 7, 9$ 通りである。したがって分子は

1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 7 + 1 \cdot 9 = 28.

よって条件付き確率は

\frac{28}{181} .

東北大学 2017年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東北大学 2017年度
理系数学前期第2問