東北大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1) $$\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{c}=\overrightarrow{OC}$$とおく。正四面体の1辺の長さは1なので $$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1$$ であり、相異なる2つのベクトルのなす角は ${60}^{\circ }$ だから $$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$$ である。 $P$ は辺 $OA$ 上にあるから $$\overrightarrow{OP}=s\vec{a}(0\leqq s\leqq 1)$$ とおける。また $Q$ は辺 $BC$ 上にあるから $$\overrightarrow{OQ}=(1-u)\vec{b}+u\vec{c}(0\leqq u\leqq 1)$$ とおける。よって $$\overrightarrow{PQ}=-s\vec{a}+(1-u)\vec{b}+u\vec{c}$$ である。

線分 $PQ$ が最短となるとき、$\overrightarrow{PQ}$ は辺 $OA$ の方向 $\vec{a}$ と辺 $BC$ の方向 $\vec{c}-\vec{b}$ の両方に垂直である。したがって$$\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{a}=0,\overrightarrow{PQ}\cdot (\vec{c}-\vec{b})=0$$である。計算すると $$-s+\frac{1}{2}=0,\frac{2u-1}{2}=0$$ となるので $$s=\frac{1}{2},u=\frac{1}{2}$$ である。したがって$$\overrightarrow{PQ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$$である。

(2) $R$ は三角形 $ABC$ の内部または辺上を動くので$$\overrightarrow{OR}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}+\nu \vec{c},\lambda ,\mu ,\nu \geqq 0,\lambda +\mu +\nu =1$$とおける。(1)で求めたベクトルを $$\vec{v}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$$ とおく。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \vec{v}\cdot \overrightarrow{OR}}& {\displaystyle =\frac{\mu +\nu }{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-\lambda }{2}}\end{array}$$である。したがって内積が最大となるのは $\lambda =0$ のとき、すなわち $R$ が辺 $BC$ 上にあるときであり、その最大値は $\frac{1}{2}$ である。

また$$\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2={\mid -\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\mid }^2=\frac{1}{2}$$だから $\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。$R$ が辺 $BC$ 上を動くとき、$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OR}\mathrm{\mid }$ は辺の中点で最小、端点で最大となる。中点では$${\mid \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\mid }^2=\frac{1+1+2\cdot \frac{1}{2}}{4}=\frac{3}{4}$$なので $$\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq \mathrm{\mid }\overrightarrow{OR}\mathrm{\mid }\leqq 1$$ である。

内積が最大となる場合に$$\cos \theta =\frac{\vec{v}\cdot \overrightarrow{OR}}{\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{OR}\mathrm{\mid }}=\frac{1\mathrm{/}2}{(1\mathrm{/}\sqrt{2})\mathrm{\mid }\overrightarrow{OR}\mathrm{\mid }}=\frac{1}{\sqrt{2}\mathrm{\mid }\overrightarrow{OR}\mathrm{\mid }}$$である。したがって $$\frac{1}{\sqrt{2}}\leqq \cos \theta \leqq \sqrt{\frac{2}{3}}$$ である。

正四面体を具体的な座標に置き、辺上の点 $P,Q$ を2変数で表す。距離の2乗を平方完成して両辺の中点を得た後、重心座標で $R$ を表して内積と長さを評価する。

(1) $$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle O}& {\displaystyle =(0,0,0),}& {\displaystyle A}& {\displaystyle =(1,0,0),}\\ {\displaystyle B}& {\displaystyle =(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0),}& {\displaystyle C}& {\displaystyle =(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\sqrt{\frac{2}{3}})}\end{array}$$とおく。これは各辺の長さが1の正四面体である。

$P=(s,0,0)$、$Q=(1-u)B+uC$ とおくと$$\mathrm{\mid }PQ{\mathrm{\mid }}^2={(s-\frac{1}{2})}^2+{(u-\frac{1}{2})}^2+\frac{1}{2}\mathrm{.}$$したがって最小となるのは $s=u=1\mathrm{/}2$ のときである。ゆえに$$\overrightarrow{PQ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}\mathrm{.}$$(2)$$\vec{v}=\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{OR}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}+\nu \vec{c}$$とおく。ただし $\lambda ,\mu ,\nu \geqq 0$、$\lambda +\mu +\nu =1$ である。正四面体の内積を用いると$$\vec{v}\cdot \vec{a}=0,\vec{v}\cdot \vec{b}=\vec{v}\cdot \vec{c}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$よって$$\vec{v}\cdot \overrightarrow{OR}=\frac{\mu +\nu }{2}=\frac{1-\lambda }{2}\mathrm{.}$$最大値 $1\mathrm{/}2$ は $\lambda =0$、すなわち $R$ が辺 $BC$ 上にあるときに得られる。

このとき $\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ であり、$R$ が $BC$ 上を動くと$$\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq \mathrm{\mid }OR\mathrm{\mid }\leqq 1.$$したがって$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}\mathrm{\mid }OR\mathrm{\mid }}$$より$$\frac{1}{\sqrt{2}}\leqq \cos \theta \leqq \sqrt{\frac{2}{3}}\mathrm{.}$$