問題
関数は連続な第2次導関数をもち，すべての実数に対しての値が正であるとする。
(1) 異なる2つの実数，に対して，次の関数を考える。
このとき
が成り立つことを示せ。
(2) を満たす実数に対して，(*)で与えた関数の値が正であることを示せ。
(3) を満たす実数に対して，次の不等式が成り立つことを示せ。
方針
解法1（導関数の増加と差分関数を使う）
から が狭義単調増加であることを使う。(1)は を計算し、平均値の定理で と書いて端点での符号を判定する。(2)は から のグラフが上に凸で、端点 を結ぶ弦より上にあることを用いる。(3)は差分 を作り、 が増加することに帰着する。
解法2（狭義凸性を2回適用する）
(1)(2)で から狭義凸性を示す。(3)では と が、 と を互いに逆の比で内分することを確かめ、(2)を2本足す。
解答
解法1（導関数の増加と差分関数を使う）
(1)
である。微分すると である。
平均値の定理より、 と の間にある実数 が存在して と書ける。また より は狭義単調増加である。
まず とする。このとき なので であり、 である。 の場合も、 であることと を用いれば同じく が得られる。
(2)
さらに微分すると である。したがって のグラフは上に凸である。また である。上に凸で直線ではないグラフは、端点を結ぶ線分よりも内部で上にある。端点を結ぶ線分は であるから、 では である。
(3)
とおき、 を考える。微分すると である。 は狭義単調増加で、 だから である。したがって は狭義単調増加である。 より である。よって である。これを展開すると であり、移項して を得る。
解法2（狭義凸性を2回適用する）
(1)
平均値の定理により、 の間の を用いて
と書ける。 だから は狭義単調増加である。 と のどちらでも符号を合わせて比較すれば
(2)
したがって は狭義に上に凸であり、 だから
すなわち、相異なる と に対し
である。
(3)
とおく。 であり、
とおけば である。直接計算すると
また
(2)をそれぞれに適用して
辺々を加えれば
したがって示す不等式が得られる。