東北大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $$p(t)=(1-t)f(x)+tf(y)-f((1-t)x+ty)$$ である。微分すると $$p^{\mathrm{\prime }}(t)=f(y)-f(x)-(y-x)f^{\mathrm{\prime }}((1-t)x+ty)$$ である。

平均値の定理より、$x$ と $y$ の間にある実数 $\xi$ が存在して $f(y)-f(x)=(y-x)f^{\mathrm{\prime }}(\xi )$ と書ける。また $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ より $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は狭義単調増加である。

まず $x<y$ とする。このとき $x<\xi <y$ なので $$p^{\mathrm{\prime }}(0)=(y-x)\{f^{\mathrm{\prime }}(\xi )-f^{\mathrm{\prime }}(x)\}>0$$ であり、$$p^{\mathrm{\prime }}(1)=(y-x)\{f^{\mathrm{\prime }}(\xi )-f^{\mathrm{\prime }}(y)\}<0$$ である。$y<x$ の場合も、$y-x<0$ であることと $y<\xi <x$ を用いれば同じく $$p^{\mathrm{\prime }}(0)>0,p^{\mathrm{\prime }}(1)<0$$ が得られる。

(2)
さらに微分すると $$p^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-(y-x{)}^2{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}((1-t)x+ty)<0$$ である。したがって $p(t)$ のグラフは上に凸である。また $p(0)=0,p(1)=0$ である。上に凸で直線ではないグラフは、端点を結ぶ線分よりも内部で上にある。端点を結ぶ線分は $y=0$ であるから、$0<t<1$ では $p(t)>0$ である。

(3) $\delta =b-a>0$ とおき、$F(u)=f(u+\delta )-f(u)$ を考える。微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(u)=f^{\mathrm{\prime }}(u+\delta )-f^{\mathrm{\prime }}(u)$$ である。$f^{\mathrm{\prime }}$ は狭義単調増加で、$u+\delta >u$ だから $F^{\mathrm{\prime }}(u)>0$ である。したがって $F(u)$ は狭義単調増加である。 $a<b<c<d$ より $d-b>c-b$ である。よって $F(d-b)>F(c-b)$ である。これを展開すると $$f(d-a)-f(d-b)>f(c-a)-f(c-b)$$ であり、移項して $$f(d-a)+f(c-b)>f(d-b)+f(c-a)$$ を得る。

(1) (2)で $f>0$ から狭義凸性を示す。(3)では $d-b$ と $c-a$ が、$d-a$ と $c-b$ を互いに逆の比で内分することを確かめ、(2)を2本足す。

(1) $$p^{\mathrm{\prime }}(t)=f(y)-f(x)-(y-x)f^{\mathrm{\prime }}((1-t)x+ty)\mathrm{.}$$平均値の定理により、$x,y$ の間の $\xi$ を用いて$$f(y)-f(x)=(y-x)f^{\mathrm{\prime }}(\xi )$$と書ける。$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0$ だから $f^{\mathrm{\prime }}$ は狭義単調増加である。$x<y$ と $y<x$ のどちらでも符号を合わせて比較すれば$$p^{\mathrm{\prime }}(0)>0,p^{\mathrm{\prime }}(1)<0.$$(2)$$p^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-(y-x{)}^2{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}((1-t)x+ty)<0.$$したがって $p$ は狭義に上に凸であり、$p(0)=p(1)=0$ だから$$p(t)>0(0<t<1)\mathrm{.}$$すなわち、相異なる $X,Y$ と $0<t<1$ に対し$$f((1-t)X+tY)<(1-t)f(X)+tf(Y)$$である。

(3) $$X=d-a,Y=c-b$$とおく。$X>Y$ であり、$$\lambda =\frac{d-c}{(b-a)+(d-c)}$$とおけば $0<\lambda <1$ である。直接計算すると$$d-b=\lambda X+(1-\lambda )Y,$$また$$c-a=(1-\lambda )X+\lambda Y\mathrm{.}$$(2)をそれぞれに適用して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(d-b)}& {\displaystyle <\lambda f(X)+(1-\lambda )f(Y),}\\ {\displaystyle f(c-a)}& {\displaystyle <(1-\lambda )f(X)+\lambda f(Y)\mathrm{.}}\end{array}$$辺々を加えれば$$f(d-b)+f(c-a)<f(d-a)+f(c-b),$$したがって示す不等式が得られる。