Evolton
方針
は、裏が出た回に対応する2進法の桁を1にした数である。(1)は を3で割った商を2進法で表せば、裏が出た回が読める。(2)は表が出た回の集合 を用いて、 と表す。条件 は高位4桁の選び方の不等式になり、最大桁から順に必要条件を詰めて数える。
解答
(1) は、裏が出た回に対応する を足した数である。 であり、これを3で割った商は である。これを2の累乗の和で表すと である。
したがって、裏が出たのは 回目であり、表が出たのは 回目である。よって出方は、1回目から順に「裏、表、裏、表、裏、表、裏、表、裏、表」である。
(2)
1回目から100回目のうち、表が出た回の集合を とする。表はちょうど4回なので、 は の4個の元からなる部分集合である。裏が出た回の桁が1になるので である。 なので は整数である。 は、 が整数であることから と同値である。したがって である。右辺は である。
ここで指数で数えるため、 とおく。 は から4個選ぶ集合である。条件は である。
まず が必要である。もし最大指数が98以下なら、最大でも となり、右辺に届かないからである。 とする。さらに なら、残り2個の指数は から97までの中から自由に選べる。これは 通りである。
次に とする。このとき が必要である。もし最大が96以下なら、残り3個の和は右辺の に届かないからである。、 のもとで、残り2個を選ぶ。 なら、もう1個は から95まで自由に選べるので96通りである。 の場合は、 と をともに選ぶ場合だけが条件を満たす。実際、 は残りの必要量 以上であり、 より小さい指数では足りない。
したがって条件を満たす表の出方は 通りである。表がちょうど4回出る出方は全体で 通りで、どれも同様に確からしい。よって条件付き確率は である。
別解
解法2（2進表示を辞書順に比較する）
方針
表を0、裏を1として、1回目から順に2進表示の下位桁から対応させる。(2)では向きを高位桁から読むため、100回目から1回目への0・1列を考え、基準値 と辞書順に比較する。
解答
(1)
回目が裏なら が加わり、表なら加わらない。したがって の2進表示は、10回目から1回目の順に表を0、裏を1として並べたものになる。 を3で割った商も341なので、1回目から順に読むとである。
(2)
は整数だからはと同値である。右辺の100桁の2進表示はである。
表がちょうど4回という条件は、100桁中の0がちょうど4個ということである。高位桁から基準列と比較すると、条件を満たす列は次の3種類に尽きる。したがって有利な出方は通りである。表が4回出る全出方は 通りなので
総評
難度7、目安時間30分。 を2進法で読むことが第一の鍵である。(2)は「表が出た回」はその桁を0にする操作なので、表の回に対応する2の累乗の和が十分大きい条件に変わる。高位桁から順に判定すると、100回目は必須、99回目を含む場合は自由度が大きく、99回目を含まない場合にも追加で97・96回目などのケースが残る。ここを「99回目と100回目が必要」とだけ判断すると数え落としになる。