東北大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

曲線 $y=\sin x$ の $x=\alpha$ における接線の傾きは $\cos \alpha$ である。2つの接線が直交するためには、傾きの積が $-1$ でなければならない。すなわち、接点の $x$ 座標を $\alpha ,\beta$ とすると $\cos \alpha \cos \beta =-1$ である。 $-1\leqq \cos x\leqq 1$ であるから、この等式が成り立つには、一方が1、他方が $-1$ でなければならない。よって接点は $$\alpha =2k\pi ,\beta =(2l+1)\pi$$ と書ける。ただし $k,l$ は整数である。 $x=2k\pi$ における接線は $y=x-2k\pi$ であり、$x=(2l+1)\pi$ における接線は $y=-x+(2l+1)\pi$ である。交点では $x-2k\pi =-x+(2l+1)\pi$ だから、その $y$ 座標は $$y=x-2k\pi =\frac{(2l+1)\pi -2k\pi }{2}=\frac{(2(l-k)+1)\pi }{2}$$ である。

逆に、任意の整数 $m$ に対して $m=l-k$ となる整数 $k,l$ を取れば、この値は実際に得られる。したがって求める値は $\frac{(2m+1)\pi }{2}(m\in \mathbb{Z})$ である。

直交するための傾きが $1,-1$ に限られることを確認した後、それぞれの接線族を切片の形で書く。2直線の式を加えれば交点の $y$ 座標が直接得られる。

接点の $x$ 座標を $\alpha ,\beta$ とすると、接線の傾きはそれぞれ $\cos \alpha ,\cos \beta$ である。直交条件は$$\cos \alpha \cos \beta =-1.$$両因子の絶対値は $1$ 以下だから、傾きは $1$ と $-1$ に限られる。

傾き $1$ の接線は $x=2k\pi$ における$$y=x-2k\pi$$であり、傾き $-1$ の接線は $x=(2l+1)\pi$ における$$y=-x+(2l+1)\pi$$である。2式を加えると、交点の $y$ 座標は$$2y=(2l+1)\pi -2k\pi \mathrm{.}$$したがって$$y=\frac{(2(l-k)+1)\pi }{2}\mathrm{.}$$$l-k$ は任意の整数を動くので、求める値は$$y=\frac{(2m+1)\pi }{2}(m\in \mathbb{Z})$$である。