東北大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $n+1$ 回の試行後に、取り出した赤玉が全部で2個となる場合を考える。 $n$ 回後までにすでに赤玉を2個取り出している場合、袋には赤玉が3個、白玉が7個ある。この状態で次に白玉を取り出せば、赤玉を取り出した総数は2個のままである。その確率は $\frac{7}{10}$ である。 $n$ 回後までに赤玉を1個取り出している場合、袋には赤玉が4個、白玉が6個ある。この状態で次に赤玉を取り出せば、総数が2個になる。その確率は $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ である。したがって $$p(n+1,2)=\frac{7}{10}p(n,2)+\frac{2}{5}p(n,1)$$ である。

(2)
赤玉をちょうど1回取り出す時刻を $j$ とする。$j$ 回目より前はすべて白玉を取り出す必要がある。赤玉をまだ取り出していない間は、赤玉5個、白玉5個なので、白玉を取り出す確率は $\frac{1}{2}$ である。$j$ 回目に赤玉を取り出す確率も $\frac{1}{2}$ である。

その後は赤玉を1個取り出した状態なので、袋には赤玉4個、白玉6個があり、白玉を取り出す確率は $\frac{3}{5}$ である。よって $$p(n,1)=\sum _{j=1}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^j{\left(\frac{3}{5}\right)}^{n-j}$$ である。これは等比数列の和で、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p(n,1)}& {\displaystyle ={\left(\frac{3}{5}\right)}^n\sum _{j=1}^n{\left(\frac{5}{6}\right)}^j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5\{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\}}\end{array}$$となる。したがって$$p(n,1)=5\{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\}$$である。

(3)
(1)より $$p(n+1,2)-\frac{7}{10}p(n,2)=\frac{2}{5}p(n,1)$$ である。$$q_n={\left(\frac{10}{7}\right)}^{n}p(n,2)$$ とおくと $$q_{n+1}-q_n={\left(\frac{10}{7}\right)}^{n+1}\frac{2}{5}p(n,1)$$ である。(2)を代入し、$p(1,2)=0$ から和を取ると$$p(n,2)=10\{{\left(\frac{7}{10}\right)}^n-2{\left(\frac{3}{5}\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\}$$を得る。したがって$$p(n,2)=10\{{\left(\frac{7}{10}\right)}^n-2{\left(\frac{3}{5}\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\}$$である。分母を ${10}^n$ にそろえると、同値に $$p(n,2)={10}^{1-n}(7^n-2\cdot 6^n+5^n)$$ である。

赤玉を1個だけ引く場合はその時刻を、2個引く場合は2つの時刻を固定する。各区間で白玉を引く確率が $1\mathrm{/}2,3\mathrm{/}5,7\mathrm{/}10$ と変わることを掛け、等比和を取る。

(1)
$n$ 回までに赤玉を2個引き、次に白玉を引く場合と、赤玉を1個引き、次に赤玉を引く場合に分ける。したがって$$p(n+1,2)=\frac{7}{10}p(n,2)+\frac{2}{5}p(n,1)\mathrm{.}$$(2)
赤玉を引く唯一の時刻を $j$ とする。赤玉を引く前の白玉確率と $j$ 回目の赤玉確率はともに $1\mathrm{/}2$、その後の白玉確率は $3\mathrm{/}5$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p(n,1)}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^j{\left(\frac{3}{5}\right)}^{n-j}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5\{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
赤玉を引く時刻を $1\leqq i<j\leqq n$ とする。その出方の確率は$${\left(\frac{1}{2}\right)}^i{\left(\frac{3}{5}\right)}^{j-i-1}\frac{2}{5}{\left(\frac{7}{10}\right)}^{n-j}\mathrm{.}$$したがって$$p(n,2)=\sum _{1\leqq i<j\leqq n}{\left(\frac{1}{2}\right)}^i{\left(\frac{3}{5}\right)}^{j-i-1}\frac{2}{5}{\left(\frac{7}{10}\right)}^{n-j}\mathrm{.}$$まず $i$ について、次に $j$ について等比和を計算すると$$p(n,2)=10\{{\left(\frac{7}{10}\right)}^n-2{\left(\frac{3}{5}\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\}\mathrm{.}$$すなわち$$p(n,2)={10}^{1-n}(7^n-2\cdot 6^n+5^n)\mathrm{.}$$