東北大学 2019年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

10個の玉が入っている袋から1個の玉を無作為に取り出し，新たに白玉1個を袋に入れるという試行を繰り返す。初めに，袋には赤玉5個と白玉5個が入っているとする。この試行を $m$ 回繰り返したとき，取り出した赤玉が全部で $k$ 個である確率を $p (m, k)$ とする。2以上の整数 $n$ に対して，以下の問いに答えよ。

(1) $p (n + 1, 2)$ を $p (n, 2)$ と $p (n, 1)$ を用いて表せ。

(2) $p (n, 1)$ を求めよ。

(3) $p (n, 2)$ を求めよ。

出典：東北大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

解法1（確率漸化式を解く）

赤玉を何個取り出したかで袋の中の赤玉数が決まる。すでに $k$ 個の赤玉を取り出していれば、残る赤玉は $5 - k$ 個である。(1)は、 $n$ 回後に赤玉2個で次に白を引く場合と、赤玉1個で次に赤を引く場合を足す。(2)は赤玉が初めて1回だけ出る時刻を固定して和を取る。(3)は(1)の一次漸化式に(2)の式を代入して解く。

解法2（赤玉を引く時刻を固定する）

赤玉を1個だけ引く場合はその時刻を、2個引く場合は2つの時刻を固定する。各区間で白玉を引く確率が $1/2, 3/5, 7/10$ と変わることを掛け、等比和を取る。

解答

解法1（確率漸化式を解く）

(1)

$n + 1$ 回の試行後に、取り出した赤玉が全部で2個となる場合を考える。 $n$ 回後までにすでに赤玉を2個取り出している場合、袋には赤玉が3個、白玉が7個ある。この状態で次に白玉を取り出せば、赤玉を取り出した総数は2個のままである。その確率は $\frac{7}{10}$ である。 $n$ 回後までに赤玉を1個取り出している場合、袋には赤玉が4個、白玉が6個ある。この状態で次に赤玉を取り出せば、総数が2個になる。その確率は $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ である。したがって $p (n + 1, 2) = \frac{7}{10} p (n, 2) + \frac{2}{5} p (n, 1)$ である。

(2)

赤玉をちょうど1回取り出す時刻を $j$ とする。 $j$ 回目より前はすべて白玉を取り出す必要がある。赤玉をまだ取り出していない間は、赤玉5個、白玉5個なので、白玉を取り出す確率は $\frac{1}{2}$ である。 $j$ 回目に赤玉を取り出す確率も $\frac{1}{2}$ である。

その後は赤玉を1個取り出した状態なので、袋には赤玉4個、白玉6個があり、白玉を取り出す確率は $\frac{3}{5}$ である。よって $p (n, 1) = \sum_{j = 1}^{n} (\frac{1}{2})^{j} (\frac{3}{5})^{n - j}$ である。これは等比数列の和で、

p (n, 1) = (\frac{3}{5})^{n} j = 1 \sum n (\frac{5}{6})^{j} = 5 {(\frac{3}{5})^{n} - (\frac{1}{2})^{n}}

となる。したがって

p (n, 1) = 5 {(\frac{3}{5})^{n} - (\frac{1}{2})^{n}}

である。

(3)

(1)より $p (n + 1, 2) - \frac{7}{10} p (n, 2) = \frac{2}{5} p (n, 1)$ である。 $q_{n} = (\frac{10}{7})^{n} p (n, 2)$ とおくと $q_{n + 1} - q_{n} = (\frac{10}{7})^{n + 1} \frac{2}{5} p (n, 1)$ である。(2)を代入し、 $p (1, 2) = 0$ から和を取ると

p (n, 2) = 10 {(\frac{7}{10})^{n} - 2 (\frac{3}{5})^{n} + (\frac{1}{2})^{n}}

を得る。したがって

p (n, 2) = 10 {(\frac{7}{10})^{n} - 2 (\frac{3}{5})^{n} + (\frac{1}{2})^{n}}

である。分母を $1 0^{n}$ にそろえると、同値に $p (n, 2) = 1 0^{1 - n} (7^{n} - 2 \cdot 6^{n} + 5^{n})$ である。

解法2（赤玉を引く時刻を固定する）

(1)

$n$ 回までに赤玉を2個引き、次に白玉を引く場合と、赤玉を1個引き、次に赤玉を引く場合に分ける。したがって

p (n + 1, 2) = \frac{7}{10} p (n, 2) + \frac{2}{5} p (n, 1) .

(2)

赤玉を引く唯一の時刻を $j$ とする。赤玉を引く前の白玉確率と $j$ 回目の赤玉確率はともに $1/2$ 、その後の白玉確率は $3/5$ である。よって

p (n, 1) = j = 1 \sum n (\frac{1}{2})^{j} (\frac{3}{5})^{n - j} = 5 {(\frac{3}{5})^{n} - (\frac{1}{2})^{n}} .

(3)

赤玉を引く時刻を $1 ≦ i < j ≦ n$ とする。その出方の確率は

(\frac{1}{2})^{i} (\frac{3}{5})^{j - i - 1} \frac{2}{5} (\frac{7}{10})^{n - j} .

したがって

p (n, 2) = 1 ≦ i < j ≦ n \sum (\frac{1}{2})^{i} (\frac{3}{5})^{j - i - 1} \frac{2}{5} (\frac{7}{10})^{n - j} .

まず $i$ について、次に $j$ について等比和を計算すると

p (n, 2) = 10 {(\frac{7}{10})^{n} - 2 (\frac{3}{5})^{n} + (\frac{1}{2})^{n}} .

すなわち

p (n, 2) = 1 0^{1 - n} (7^{n} - 2 \cdot 6^{n} + 5^{n}) .

東北大学 2019年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解法1（確率漸化式を解く）

解法2（赤玉を引く時刻を固定する）

解答

解法1（確率漸化式を解く）

(1)

(2)

(3)

解法2（赤玉を引く時刻を固定する）

(1)

(2)

(3)

東北大学 2019年度
理系数学前期第6問