東北大学 2019年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

実数を係数にもつ整式 $A (x)$ を $x^{2} + 1$ で割った余りとして得られる整式を $[A (x)]$ と表す。

(1) $[2 x^{2} + x + 3]$ ， $[x^{5} - 1]$ ， $[[2 x^{2} + x + 3] [x^{5} - 1]]$ をそれぞれ求めよ。

(2) 整式 $A (x)$ ， $B (x)$ に対して，次の等式が成り立つことを示せ。

[A (x) B (x)] = [[A (x)] [B (x)]]

(3) 実数 $θ$ に対して，次の等式が成り立つことを示せ。

[(x sin θ + cos θ)^{2}] = x sin 2 θ + cos 2 θ

(4) 次の等式を満たす実数 $a, b$ の組 $(a, b)$ をすべて求めよ。

[(a x + b)^{4}] = - 1

出典：東北大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

解法1（三角関数の倍角へつなぐ）

$x^{2} \equiv - 1$ と考え、余りを一次式に直す。(2)は余りの定義から、元の整式との差が $x^{2} + 1$ の倍数であることを使って積でも余りが一致することを示す。(3)は直接展開して $x^{2} \equiv - 1$ を使う。(4)は $a, b$ を $r sin θ, r cos θ$ と表す三角関数解法に加え、 $2 ab x + b^{2} - a^{2}$ を使う代数的な別解も示す。

解法2（一次式の係数を代数的に追う）

$x^{2} \equiv - 1$ として(1)を計算し、(2)は余りの定義から証明する。(3)は直接展開する。(4)では $[(a x + b)^{2}]$ を $ux + v$ と置き、その平方の一次係数と定数項を比較する。

解答

解法1（三角関数の倍角へつなぐ）

(1)

$x^{2} + 1$ で割った余りを考えるので、余りの計算では $x^{2} \equiv - 1$ としてよい。したがって $[2 x^{2} + x + 3] = [- 2 + x + 3] = x + 1$ である。また $x^{4} \equiv 1$ より $x^{5} \equiv x$ なので $[x^{5} - 1] = x - 1$ である。さらに $[[2 x^{2} + x + 3] [x^{5} - 1]] = [(x + 1) (x - 1)] = [x^{2} - 1] = - 2$ である。

(2)

整式 $A (x)$ を $x^{2} + 1$ で割ると $A (x) = [A (x)] + (x^{2} + 1) Q (x)$ と書ける。同様に $B (x) = [B (x)] + (x^{2} + 1) R (x)$ と書ける。これらを掛けると、 $A (x) B (x)$ と $[A (x)] [B (x)]$ の差は $x^{2} + 1$ の倍数である。したがって、この2つを $x^{2} + 1$ で割った余りは等しい。よって $[A (x) B (x)] = [[A (x)] [B (x)]]$ である。

(3)

左辺を展開して余りを取ると

[(x sin θ + cos θ)^{2}] = [x^{2} sin^{2} θ + 2 x sin θ cos θ + cos^{2} θ] = - sin^{2} θ + x sin 2 θ + cos^{2} θ = x sin 2 θ + cos 2 θ

である。したがって示す等式が成り立つ。

(4)

まず $(a, b) = (0, 0)$ は左辺が0になるので不適である。そこで $a = r sin θ, b = r cos θ, r > 0$ とおく。このとき $a x + b = r (x sin θ + cos θ)$ である。(3)と(2)を用いると $[(a x + b)^{4}] = r^{4} [x sin 4 θ + cos 4 θ]$ である。これが $- 1$ に等しいためには $r^{4} sin 4 θ = 0, r^{4} cos 4 θ = - 1$ でなければならない。よって $r = 1$ かつ $sin 4 θ = 0, cos 4 θ = - 1$ である。したがって $4 θ = (2 m + 1) π$ となり、 $sin θ, cos θ$ は $(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2})$ の4通りを取る。よって

(a, b) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

である。

解法2（一次式の係数を代数的に追う）

(1)

$x^{2} \equiv - 1$ より

[2 x^{2} + x + 3] = x + 1, [x^{5} - 1] = x - 1.

したがって

[[2 x^{2} + x + 3] [x^{5} - 1]] = [x^{2} - 1] = - 2.

(2)

A = [A] + (x^{2} + 1) Q, B = [B] + (x^{2} + 1) R

と書ける。積を取れば $A B - [A] [B]$ は $x^{2} + 1$ の倍数だから

[A B] = [[A] [B]] .

(3)

直接展開して $x^{2} \equiv - 1$ を用いると

[(x sin θ + cos θ)^{2}] = - sin^{2} θ + 2 x sin θ cos θ + cos^{2} θ = x sin 2 θ + cos 2 θ .

(4)

まず

[(a x + b)^{2}] = 2 ab x + b^{2} - a^{2} .

$u = 2 ab, v = b^{2} - a^{2}$ とおけば

[(a x + b)^{4}] = [(ux + v)^{2}] = 2 uv x + v^{2} - u^{2} .

これが $- 1$ に等しい条件は

uv = 0, v^{2} - u^{2} = - 1.

$u = 0$ なら $v^{2} = - 1$ となり不可能である。よって $v = 0$ 、すなわち $b^{2} = a^{2}$ である。さらに

- u^{2} = - 1, u = 2 ab

より $4 a^{4} = 1$ であり、 $a^{2} = b^{2} = 1/2$ を得る。したがって

(a, b) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) .

東北大学 2019年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解法1（三角関数の倍角へつなぐ）

解法2（一次式の係数を代数的に追う）

解答

解法1（三角関数の倍角へつなぐ）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（一次式の係数を代数的に追う）

(1)

(2)

(3)

(4)

東北大学 2019年度
理系数学前期第4問