東北大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $x^2+1$ で割った余りを考えるので、余りの計算では $x^2\equiv -1$ としてよい。したがって $$[2x^2+x+3]=[-2+x+3]=x+1$$ である。また $x^4\equiv 1$ より $x^5\equiv x$ なので $[x^5-1]=x-1$ である。さらに $$[[2x^2+x+3][x^5-1]]=[(x+1)(x-1)]=[x^2-1]=-2$$ である。

(2)
整式 $A(x)$ を $x^2+1$ で割ると $A(x)=[A(x)]+(x^2+1)Q(x)$ と書ける。同様に $B(x)=[B(x)]+(x^2+1)R(x)$ と書ける。これらを掛けると、$A(x)B(x)$ と $[A(x)][B(x)]$ の差は $x^2+1$ の倍数である。したがって、この2つを $x^2+1$ で割った余りは等しい。よって $$[A(x)B(x)]=[[A(x)][B(x)]]$$ である。

(3)
左辺を展開して余りを取ると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [(x\sin \theta +\cos \theta {)}^2]}& {\displaystyle =[x^2{\sin }^2\theta +2x\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta ]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\sin }^2\theta +x\sin 2\theta +{\cos }^2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x\sin 2\theta +\cos 2\theta }\end{array}$$である。したがって示す等式が成り立つ。

(4)
まず $(a,b)=(0,0)$ は左辺が0になるので不適である。そこで $$a=r\sin \theta ,b=r\cos \theta ,r>0$$ とおく。このとき $$ax+b=r(x\sin \theta +\cos \theta )$$ である。(3)と(2)を用いると $$[(ax+b{)}^4]=r^4[x\sin 4\theta +\cos 4\theta ]$$ である。これが $-1$ に等しいためには $$r^4\sin 4\theta =0,r^4\cos 4\theta =-1$$ でなければならない。よって $r=1$ かつ $$\sin 4\theta =0,\cos 4\theta =-1$$ である。したがって $4\theta =(2m+1)\pi$ となり、$\sin \theta ,\cos \theta$ は $(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},\pm \frac{1}{\sqrt{2}})$ の4通りを取る。よって$$(a,b)=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}),(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}),(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}),(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$$である。

$x^2\equiv -1$ として(1)を計算し、(2)は余りの定義から証明する。(3)は直接展開する。(4)では $[(ax+b{)}^2]$ を $ux+v$ と置き、その平方の一次係数と定数項を比較する。

(1)
$x^2\equiv -1$ より$$[2x^2+x+3]=x+1,[x^5-1]=x-1.$$したがって$$[[2x^2+x+3][x^5-1]]=[x^2-1]=-2.$$(2)$$A=[A]+(x^2+1)Q,B=[B]+(x^2+1)R$$と書ける。積を取れば $AB-[A][B]$ は $x^2+1$ の倍数だから$$[AB]=[[A][B]]\mathrm{.}$$(3)
直接展開して $x^2\equiv -1$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [(x\sin \theta +\cos \theta {)}^2]}& {\displaystyle =-{\sin }^2\theta +2x\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x\sin 2\theta +\cos 2\theta \mathrm{.}}\end{array}$$(4)
まず$$[(ax+b{)}^2]=2abx+b^2-a^2\mathrm{.}$$$u=2ab,v=b^2-a^2$ とおけば$$[(ax+b{)}^4]=[(ux+v{)}^2]=2uvx+v^2-u^2\mathrm{.}$$これが $-1$ に等しい条件は$$uv=0,v^2-u^2=-1.$$$u=0$ なら $v^2=-1$ となり不可能である。よって $v=0$、すなわち $b^2=a^2$ である。さらに$$-u^2=-1,u=2ab$$より $4a^4=1$ であり、$a^2=b^2=1\mathrm{/}2$ を得る。したがって$$(a,b)=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}),(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}),(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}),(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\mathrm{.}$$