解答
解法1（2つの積分値を未知数にする）
(1)
I=∫−111+exsin2(πx)dx
とおく。x を −x に置き換えると
I=∫−111+e−xsin2(πx)dx=∫−111+exexsin2(πx)dx.
2つの式を加えると
2I=∫−11sin2(πx)dx.
さらに
∫−11sin2(πx)dx=2∫01sin2(πx)dx=1
である。したがって
∫−111+exsin2(πx)dx=∫01sin2(πx)dx=21.
(2)
A=∫−11f(t)dt,B=∫−11etf(t)dt
とおく。与式の積分部分は
∫−11(ex−et+1)f(t)dt=Aex−B+A
だから
f(x)=A+1+exsin2(πx)−B.
ここで対称性と(1)から
∫−111+exdx∫−111+exexdx=1,=1,∫−111+exsin2(πx)dx∫−111+exexsin2(πx)dx=21,=21.
f の式を積分し、次に exf を積分すると
B=A+21,2B=A(e−e−1)+21.
D=e2−2e−1 とおけば
A=2De,B=2De2−e−1.
よって
f(x)=2De+1+exsin2(πx)−2De2−e−1,D=e2−2e−1.
解法2（対称性を積分作用素としてまとめる）
(1)
K(x)=1+ex1
とおくと
K(x)+K(−x)=1.
sin2(πx) は偶関数なので
2∫−11sin2(πx)K(x)dx=∫−11sin2(πx)dx=2∫01sin2(πx)dx=1.
よって問題の等式を得る。
(2)
A=∫−11f(t)dt,B=∫−11etf(t)dt
とおく。与式を f(x) について解けば
f(x)=A+K(x){sin2(πx)−B}.
対称性から必要な積分値は
∫−11(⋅)dx∫−11sin2(πx)(⋅)dxK(x)121exK(x)121
である。また
∫−11exdx=e−e−1.
したがって f の式をそのまま積分した式と、exf を積分した式は
A=2A+21−B,B=(e−e−1)A+21−B.
すなわち
B=A+21,2B=(e−e−1)A+21.
D=e2−2e−1 とおくと
A=2De,B=2De2−e−1.
ゆえに
f(x)=2De+1+exsin2(πx)−2De2−e−1,D=e2−2e−1.
