東北大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$I={\int }_{-1}^1\frac{{\sin }^2(\pi x)}{1+e^x}dx$$とおく。$x$ を $-x$ に置き換えると$$I={\int }_{-1}^1\frac{{\sin }^2(\pi x)}{1+e^{-x}}dx={\int }_{-1}^1\frac{e^x{\sin }^2(\pi x)}{1+e^x}dx\mathrm{.}$$2つの式を加えると$$2I={\int }_{-1}^1{\sin }^2(\pi x)dx\mathrm{.}$$さらに$${\int }_{-1}^1{\sin }^2(\pi x)dx=2{\int }_0^1{\sin }^2(\pi x)dx=1$$である。したがって$${\int }_{-1}^1\frac{{\sin }^2(\pi x)}{1+e^x}dx={\int }_0^1{\sin }^2(\pi x)dx=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$(2)$$A={\int }_{-1}^{1}f(t)dt,B={\int }_{-1}^1{e}^{t}f(t)dt$$とおく。与式の積分部分は$${\int }_{-1}^1(e^x-e^t+1)f(t)dt=A{e}^x-B+A$$だから$$f(x)=A+\frac{{\sin }^2(\pi x)-B}{1+e^x}\mathrm{.}$$ここで対称性と(1)から$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{dx}{1+e^x}}& {\displaystyle =1,}& {\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{{\sin }^2(\pi x)}{1+e^x}dx}& {\displaystyle =\frac{1}{2},}\\ {\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{e^x}{1+e^x}dx}& {\displaystyle =1,}& {\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{e^x{\sin }^2(\pi x)}{1+e^x}dx}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$$f$ の式を積分し、次に $e^{x}f$ を積分すると$$B=A+\frac{1}{2},2B=A(e-e^{-1})+\frac{1}{2}\mathrm{.}$$$D=e^2-2e-1$ とおけば$$A=\frac{e}{2D},B=\frac{e^2-e-1}{2D}\mathrm{.}$$よって$$f(x)=\frac{e}{2D}+\frac{{\displaystyle {\sin }^2(\pi x)-\frac{e^2-e-1}{2D}}}{{\displaystyle 1+e^x}},D=e^2-2e-1.$$

$K(x)=1\mathrm{/}(1+e^x)$ とおき、$K(x)+K(-x)=1$ を使う。未知関数の2つのモーメント$$A={\int }_{-1}^{1}f(t)dt,B={\int }_{-1}^1{e}^{t}f(t)dt$$に対する連立方程式を表にまとめて解く。

(1) $$K(x)=\frac{1}{1+e^x}$$とおくと$$K(x)+K(-x)=1.$$${\sin }^2(\pi x)$ は偶関数なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2{\int }_{-1}^1{\sin }^2(\pi x)K(x)dx}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1{\sin }^2(\pi x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^1{\sin }^2(\pi x)dx=1.}\end{array}$$よって問題の等式を得る。

(2) $$A={\int }_{-1}^{1}f(t)dt,B={\int }_{-1}^1{e}^{t}f(t)dt$$とおく。与式を $f(x)$ について解けば$$f(x)=A+K(x)\{{\sin }^2(\pi x)-B\}\mathrm{.}$$対称性から必要な積分値は$$\begin{array}{ccc}& K(x)& e^{x}K(x)\\ {\displaystyle {\int }_{-1}^1(\cdot )dx}& 1& 1\\ {\displaystyle {\int }_{-1}^1{\sin }^2(\pi x)(\cdot )dx}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$である。また$${\int }_{-1}^1{e}^{x}dx=e-e^{-1}\mathrm{.}$$したがって $f$ の式をそのまま積分した式と、$e^{x}f$ を積分した式は$$A=2A+\frac{1}{2}-B,B=(e-e^{-1})A+\frac{1}{2}-B\mathrm{.}$$すなわち$$B=A+\frac{1}{2},2B=(e-e^{-1})A+\frac{1}{2}\mathrm{.}$$$D=e^2-2e-1$ とおくと$$A=\frac{e}{2D},B=\frac{e^2-e-1}{2D}\mathrm{.}$$ゆえに$$f(x)=\frac{e}{2D}+\frac{{\displaystyle {\sin }^2(\pi x)-\frac{e^2-e-1}{2D}}}{{\displaystyle 1+e^x}},D=e^2-2e-1.$$