東北大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
真数条件は$$x-6>0,12-x>0$$であるから、$6<x<12$ である。$y=x-6$ とおけば$$y=1,2,3,4,5,12-x=6-y$$となる。

$a>1$ のとき、対数関数は増加するので$${\log }_{a}y>\frac{1}{2}{\log }_a(6-y)⟺y^2>6-y⟺y^2+y>6.$$したがって $y=3,4,5$、すなわち$$x=9,10,11$$である。

一方 $0<a<1$ のとき、対数関数は減少するので$${\log }_{a}y>\frac{1}{2}{\log }_a(6-y)⟺y^2<6-y⟺y^2+y<6.$$これを満たすのは $y=1$ だけである。$y=2$ は等号になるため除く。よって$$x=7$$である。

(2)
一般に真数条件から$$y=x-n\in \{1,2,\dots ,n-1\}$$である。

$a>1$ のときは $y^2+y>n$ を満たす整数 $y$ が必要である。$n=1$ では候補がなく、$n=2$ では $y=1$ に対して等号になる。$n\geqq 3$ なら $y=n-1$ とすれば$$y^2+y=n(n-1)>n$$となる。

$0<a<1$ のときは $y^2+y<n$ が必要である。$n=1,2$ では不可能であり、$n\geqq 3$ なら $y=1$ とすれば $2<n$ となる。したがって、どちらの場合も必要十分条件は$$n\geqq 3$$である。

区間 $n<x<2n$ で $F(x)=(x-n{)}^2-(2n-x)$ を考える。$F$ はこの区間で狭義単調増加するため、整数点で $F>0$ または $F<0$ が実現する条件は両端に最も近い整数だけで判定できる。

(1)
真数条件は $6<x<12$ である。また$$F(x)=(x-6{)}^2-(12-x)=x^2-11x+24=(x-3)(x-8)$$とおく。

$a>1$ では $F(x)>0$ が必要なので、真数条件と合わせて$$8<x<12.$$したがって $x=9,10,11$ である。$0<a<1$ では $F(x)<0$ が必要なので$$6<x<8,$$したがって $x=7$ である。

(2)
一般に$$F(x)=(x-n{)}^2-(2n-x)$$とおくと、$n<x<2n$ では$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-n)+1>0$$である。よって $F$ は狭義単調増加する。

$a>1$ では $F(x)>0$ となる整数点が必要である。最大の候補 $x=2n-1$ において$$F(2n-1)=(n-1{)}^2-1=n(n-2)$$だから、存在条件は $n\geqq 3$ である。

$0<a<1$ では $F(x)<0$ となる整数点が必要である。最小の候補 $x=n+1$ において$$F(n+1)=1-(n-1)=2-n$$だから、やはり存在条件は $n\geqq 3$ である。