東北大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $$f(x)=(n+1)\{\log (a+x)-\log (n+1)\}-n(\log a-\log n)-\log x$$ である。$x>0$、$a>0$ で微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\frac{n+1}{a+x}-\frac{1}{x}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n+1)x-(a+x)}{x(a+x)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{nx-a}{x(a+x)}}\end{array}$$である。分母 $x(a+x)$ は正なので、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $nx-a$ の符号で決まる。

したがって $$0<x<\frac{a}{n}$$ では $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、$$x>\frac{a}{n}$$ では $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ である。よって $x=a\mathrm{/}n$ で極小値をとる。

その値を計算する。 $$a+\frac{a}{n}=a\frac{n+1}{n}$$ なので $$\log (a+\frac{a}{n})-\log (n+1)=\log a-\log n$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f\left(\frac{a}{n}\right)}& {\displaystyle =(n+1)(\log a-\log n)-n(\log a-\log n)-\log \frac{a}{n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log a-\log n-(\log a-\log n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0}\end{array}$$である。よって極値は極小値だけで、その値は である。

さらに $f(x)\geqq 0$ を指数化すると$$\begin{array}{cccc}& \frac{a+x}{n+1}\geqq {\left(\frac{a}{n}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n\mathrm{/}(n+1)}{x}^{1\mathrm{/}(n+1)}& & \text{(*)}\end{array}$$を得る。この不等式を使うと、正の数の相加平均・相乗平均の関係を個数について帰納的に示せる。実際、最初の $n$ 個の和を $a$、$(n+1)$ 個目を $x$ として $(\ast )$ を適用し、最初の $n$ 個に対する相加平均・相乗平均を組み合わせれば、$(n+1)$ 個に対する同じ不等式が得られる。

(2) $n\geqq 2$ とする。正の数 $\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{4}{3},\dots ,\frac{n+1}{n}$ の $n$ 個を考える。(1)から帰納的に得られる相加平均・相乗平均の関係より$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k+1}{k}\geqq {(\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdots \frac{n+1}{n})}^{1\mathrm{/}n}$$である。

ここで右辺の積は途中がすべて約分されて $$\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdots \frac{n+1}{n}=n+1$$ である。したがって $$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k+1}{k}\geqq (n+1{)}^{1\mathrm{/}n}$$ である。

さらに、$n\geqq 2$ のとき、これらの数はすべて等しくない。実際 $\frac{2}{1}\mathrm{\ne }\frac{3}{2}$ である。相加平均・相乗平均で等号が成り立つのはすべての数が等しいときだけなので、今回は等号は成り立たない。よって が成り立つ。