東北大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
示したい不等式の左辺との差を考える。対数の性質より $${\log }_t(x+1)={\log }_{t}x+{\log }_t(1+\frac{1}{x})$$ であるから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x+1)-2{\log }_t(x+1)}& {\displaystyle =x+1-2{\log }_{t}x-2{\log }_t(1+\frac{1}{x})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-2{\log }_{t}x)+\{1-2{\log }_t(1+\frac{1}{x})\}}\end{array}$$である。

条件(b)より $x-2{\log }_{t}x\geqq 0$ である。次に条件(a)を使う。$x>0$なので，$$x>\frac{1}{\sqrt{t}-1}$$ から，両辺の逆数をとって $$\frac{1}{x}<\sqrt{t}-1$$ である。よって $$1+\frac{1}{x}<\sqrt{t}$$ となる。$t>1$なので，底$t$の対数は増加関数であり，$${\log }_t(1+\frac{1}{x})<{\log }_t\sqrt{t}=\frac{1}{2}$$ を得る。したがって $$1-2{\log }_t(1+\frac{1}{x})>0$$ である。

以上より $(x+1)-2{\log }_t(x+1)>0$ となるから，$x+1>2{\log }_t(x+1)$ が示された。

(2)
まず小さい正の整数を調べる。 $1\leqq 2{\log }_{2}1=0$ は成り立たない。 $$2=2{\log }_{2}2,3<2{\log }_{2}3,4=2{\log }_{2}4$$ であるから，$n=2,3,4$は条件を満たす。

次に$n\geqq 5$では条件を満たさないことを示す。まず $2{\log }_{2}5<5$ を確認する。これは ${\log }_{2}5<\frac{5}{2}$ すなわち $5<2^{5\mathrm{/}2}=4\sqrt{2}$ と同値であり，$25<32$より正しい。したがって$n=5$は不成立である。

ここで，ある正の実数$x$について $x>2{\log }_{2}x$ かつ $$x>\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$$ が成り立つなら，(1)を$t=2$に適用できる。条件(b)は$x\geqq 2{\log }_{2}x$として満たされ，条件(a)も満たされるので，$x+1>2{\log }_2(x+1)$ が従う。

$n=5$では$5>2{\log }_{2}5$であり，また$5>\sqrt{2}+1$である。よって上の議論を$x=5,6,7,\dots$に順に用いると，すべての$n\geqq 5$について $n>2{\log }_{2}n$ となる。したがって，条件$n\leqq 2{\log }_{2}n$を満たす正の整数は $2,3,4$ である。

(1) は条件(b)に1を加えて ${\log }_t(t{x}^2)$ を作り、条件(a)から $t{x}^2>(x+1{)}^2$ を示す。(2)は $n\leqq 2{\log }_{2}n$ を $2^n\leqq n^2$ に直し、$n=5$以降では逆向きの不等式を帰納的に示す。

(1) 条件(b)から$$x+1\geqq 2{\log }_{t}x+1={\log }_t{x}^2+{\log }_{t}t={\log }_t(t{x}^2)\mathrm{.}$$一方、条件(a)を変形すると$$x(\sqrt{t}-1)>1⟺\sqrt{t}x>x+1.$$両辺は正なので2乗して $t{x}^2>(x+1{)}^2$ を得る。$t>1$ だから ${\log }_t$ は増加関数であり、$${\log }_t(t{x}^2)>{\log }_t(x+1{)}^2=2{\log }_t(x+1)\mathrm{.}$$以上をつなげれば $x+1>2{\log }_t(x+1)$ である。

(2) 条件は$$n\leqq 2{\log }_{2}n⟺2^n\leqq n^2$$と同値である。$n=1,2,3,4,5$ を調べると、成立するのは $2,3,4$ である。

$n\geqq 5$ では $2^n>n^2$ を帰納法で示す。$n=5$ では $32>25$ である。$2^n>n^2$ と仮定すると、$n\geqq 5$ より$$2n^2-(n+1{)}^2=n^2-2n-1>0$$だから$$2^{n+1}=2\cdot 2^n>2n^2>(n+1{)}^2\mathrm{.}$$よってすべての $n\geqq 5$ で不成立であり、求める整数は $2,3,4$ である。