東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
与えられた等式は $3^a=1+2^b$ と書ける。右辺は1より大きい正の数であるから $3^a>1$ であり、したがって $a>0$ である。

このとき $3^a-1$ は正の整数であり、$2^b=3^a-1$ である。もし $b\leqq 0$ なら $0<2^b\leqq 1$ である。ところが $3^a-1$ は正の整数なので、$2^b$ がこれに等しいには $2^b=1$ しかない。しかし $2^b=1$ なら $b=0$ であり、等式は $3^a=2$ となって整数 $a$ では不可能である。よって $b>0$ である。

(2) $b>1$ とする。このとき $2^b$ は4の倍数である。したがって $3^a-2^b=1$ を4で割った余りで見ると $3^a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。$3\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ なので $3^a\equiv (-1{)}^a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。これが1に合同であるためには、$a$ は偶数でなければならない。

(3)
まず $b=1$ の場合、$3^a-2=1$ より $3^a=3$ だから $(a,b)=(1,1)$ である。

次に $b>1$ とする。(2)より $a$ は偶数なので $a=2m$ とおける。このとき $3^{2m}-1=2^b$ であるから $(3^m-1)(3^m+1)=2^b$ である。左辺の2つの因数はいずれも正の整数で、その積が2の累乗なので、それぞれも2の累乗である。しかも差は $(3^m+1)-(3^m-1)=2$ である。

2つの2の累乗が2だけ異なるには、$3^m-1=2,3^m+1=4$ でなければならない。したがって $3^m=3$ より $m=1$ である。このとき $a=2,2^b=3^2-1=8$ なので $b=3$ である。

以上より、求める整数の組は $(a,b)=(1,1),(2,3)$ である。

$b=1$ を先に処理し、$b>1$ では法4から $a$ を偶数にする。平方差の2因子は最大公約数が2で、積が2の累乗なので、差が2である連続した2の累乗に限られる。

(1)
等式から $3^a>1$ なので $a>0$ である。さらに $2^b=3^a-1$ は正の整数で、$b\leqq 0$ は不可能だから $b>0$ である。

(2)
$b>1$ なら$$3^a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$であり、$3\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ だから $a$ は偶数である。

(3)
$b=1$ なら $3^a=3$ より $(a,b)=(1,1)$ である。$b>1$ なら (2) より $a=2m$ と書ける。すると$$(3^m-1)(3^m+1)=2^b\mathrm{.}$$2因子の最大公約数は2で、どちらも2の累乗である。また差が2なので、可能なのは$$3^m-1=2,3^m+1=4$$だけである。よって $m=1$、したがって$$(a,b)=(2,3)\mathrm{.}$$以上より全解は$$(a,b)=(1,1),(2,3)$$である。