問題
整数 は等式
を満たしているとする。
(1) はともに正となることを示せ。
(2) ならば、 は偶数であることを示せ。
(3) を満たす整数の組 をすべてあげよ。
方針
解法1
まず等式から と見て、 が正であることを確定する。すると は正の整数になるので、 も正でなければならない。 では が4の倍数であることから、 となり、 が偶数と分かる。最後は と に分け、偶数 の場合に差の平方として因数分解する。
解法2（2進付値を因数差から決定）
を先に処理し、 では法4から を偶数にする。平方差の2因子は最大公約数が2で、積が2の累乗なので、差が2である連続した2の累乗に限られる。
解答
解法1
(1)
与えられた等式は と書ける。右辺は1より大きい正の数であるから であり、したがって である。
このとき は正の整数であり、 である。もし なら である。ところが は正の整数なので、 がこれに等しいには しかない。しかし なら であり、等式は となって整数 では不可能である。よって である。
(2)
とする。このとき は4の倍数である。したがって を4で割った余りで見ると である。 なので である。これが1に合同であるためには、 は偶数でなければならない。
(3)
まず の場合、 より だから である。
次に とする。(2)より は偶数なので とおける。このとき であるから である。左辺の2つの因数はいずれも正の整数で、その積が2の累乗なので、それぞれも2の累乗である。しかも差は である。
2つの2の累乗が2だけ異なるには、 でなければならない。したがって より である。このとき なので である。
以上より、求める整数の組は である。
解法2（2進付値を因数差から決定）
(1)
等式から なので である。さらに は正の整数で、 は不可能だから である。
(2)
なら
であり、 だから は偶数である。
(3)
なら より である。 なら (2) より と書ける。すると
2因子の最大公約数は2で、どちらも2の累乗である。また差が2なので、可能なのは
だけである。よって 、したがって
以上より全解は
である。