東北大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) $u=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$，$0<u<1$とする。$C_a$上では$$y^2=F(a)=(1-a{)}^2(1-\frac{u^2}{a^2}),u\le a\le 1.$$端点では高さを0とする。微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{2(1-a)(u^2-a^3)}{a^3}\mathrm{.}$$$u<u^{2\mathrm{/}3}<1$より，$F$は$a=u^{2\mathrm{/}3}$まで増加，その後減少する。
最大値は$$F(u^{2\mathrm{/}3})=(1-u^{2\mathrm{/}3}{)}^3\mathrm{.}$$高さ$\sqrt{F(a)}$は連続で，$a=u$で0となるので，0から最大値までのすべての値を取る。
上下の対称性から$$-(1-u^{2\mathrm{/}3}{)}^{3\mathrm{/}2}\le y\le (1-u^{2\mathrm{/}3}{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$$x=0$では$C_0$から$-1\le y\le 1$，$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=1$では$C_1$から$y=0$であり，他の楕円からそれ以上の高さは得られない。
したがって求める範囲は$$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\le (1-\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$(2) 対称性より，面積を$S$とすると$$S=4{\int }_0^1(1-x^{2\mathrm{/}3}{)}^{3\mathrm{/}2}dx\mathrm{.}$$$x={\cos }^{3}t$とおけば$$S=12{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{4}t{\cos }^{2}tdt\mathrm{.}$$この積分を$J$とする。$t\mapsto \pi \mathrm{/}2-t$で$J={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{4}t{\sin }^{2}tdt$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2J}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2}t{\cos }^{2}tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{8}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(1-\cos 4t)dt=\frac{\pi }{16}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$S=\frac{3\pi }{8}\mathrm{.}$$(3) 各$x$における断面は，半径$(1-\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}{)}^{3\mathrm{/}2}$の円である。
体積$V$は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^1(1-x^{2\mathrm{/}3}{)}^{3}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^1(1-3x^{2\mathrm{/}3}+3x^{4\mathrm{/}3}-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi (1-\frac{9}{5}+\frac{9}{7}-\frac{1}{3})=\frac{32\pi }{105}\mathrm{.}}\end{array}$$

主解と異なる見方による補足。

$u=\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}$，$v=\mathrm{\mid }y{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}$とおく。
$0<a<1$について，内積の不等式を二回使うと$$(u+v{)}^2\le \frac{u^2}{a}+\frac{v^2}{1-a},$$$${(\frac{u^2}{a}+\frac{v^2}{1-a})}^2\le (\frac{u^3}{a^2}+\frac{v^3}{(1-a{)}^2})(u+v)\mathrm{.}$$楕円上では右の括弧は1なので，$u+v>0$なら$(u+v{)}^3\le 1$となり，$u+v\le 1$である。
$C_0,C_1$上でも同じ条件を満たす。

逆に$x,y$がともに0でなく$u+v\le 1$なら，
$G(a)=x^2\mathrm{/}{a}^2+y^2\mathrm{/}(1-a{)}^2$について$$G\left(\frac{u}{u+v}\right)=(u+v{)}^3\le 1.$$$G(a)$は連続で，$a\to 0+$のとき$G(a)\to \mathrm{\infty }$となるので，
中間値の定理から$G(a)=1$となる$0<a<1$が存在する。
座標軸上の点は$C_0,C_1$に入る。
したがって$D$は$\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}+\mathrm{\mid }y{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}\le 1$を満たす点全体である。

この証明は$a$について微分せずに通過領域を求める。
上からの評価に加えて，条件を満たす点がいずれかの楕円上にあることも示している。