東北大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1) $P=(a,a\mathrm{/}2-1)$より，$m$の方程式は$$y=-2x+\frac{5}{2}a-1.$$放物線との共有点では$$x^2+2=-2x+\frac{5}{2}a-1,$$すなわち$(x+1{)}^2=5a\mathrm{/}2-2$である。
実数の共有点をもつ条件は$a\ge 4\mathrm{/}5$であり，問題の制限を合わせると$$\frac{4}{5}\le a\le \frac{12}{5}\mathrm{.}$$(2) $r=\sqrt{5a\mathrm{/}2-2}$とおく。$0\le r\le 2$であり，共有点の$x$座標は$-1\pm r$。
放物線上の点$(x,x^2+2)$と$\mathrm{\ell }$との距離は$$\frac{2x^2-x+6}{\sqrt{5}}$$である。分子はすべての実数$x$で正であり，$x=-1\pm r$での値は
$2r^2\mp 5r+9$となる。
よって$r>0$では$-1+r$の交点の方が近く，$r=0$では共有点は一つである。
したがって$$Q=(-1+r,r^2-2r+3)\mathrm{.}$$両端では$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle P_0}& {\displaystyle =(4\mathrm{/}5,-3\mathrm{/}5),}& {\displaystyle Q_0}& {\displaystyle =(-1,3),}\\ {\displaystyle P_1}& {\displaystyle =(12\mathrm{/}5,1\mathrm{/}5),}& {\displaystyle Q_1}& {\displaystyle =(1,3)\mathrm{.}}\end{array}$$線分$PQ$はすべて$\mathrm{\ell }$に垂直で，$P$が$P_0$から$P_1$へ動くと，$Q$は放物線の$Q_0$から$Q_1$までの弧を動く。
この弧と$P_0{Q}_0,P_1{Q}_1,P_0{P}_1$で囲まれる領域が求める通過領域である。

台形$P_0{Q}_0{Q}_1{P}_1$の平行な二辺とその間の距離は$$P_0{Q}_0=\frac{9\sqrt{5}}{5},P_1{Q}_1=\frac{7\sqrt{5}}{5},P_0{P}_1=\frac{4\sqrt{5}}{5}\mathrm{.}$$したがって台形の面積は$32\mathrm{/}5$である。
ここから$y=3$と$y=x^2+2$の間の面積を引くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{32}{5}-{\int }_{-1}^1(1-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{32}{5}-\frac{4}{3}=\frac{76}{15}\mathrm{.}}\end{array}$$

縦の切り口で三つの積分に分ける。

領域の下側の境界は$x=4\mathrm{/}5$で，上側の境界は$x=1$で切り替わる。
両端の直線は$P_0{Q}_0:y=-2x+1$，$P_1{Q}_1:y=-2x+5$なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S=}& {\displaystyle {\int }_{-1}^{4\mathrm{/}5}\{x^2+2-(-2x+1)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{4\mathrm{/}5}^1\{x^2+2-(x\mathrm{/}2-1)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_1^{12\mathrm{/}5}\{(-2x+5)-(x\mathrm{/}2-1)\}dx}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle \frac{243}{125}+\frac{1009}{1500}+\frac{49}{20}=\frac{76}{15}\mathrm{.}}\end{array}$$上側と下側の境界が切り替わる位置を，それぞれの端点の$x$座標から決めている。