東北大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

線分$OP$は$y=x$，$0\le x\le 1$で表される。
共有点がある条件は，$b$が$$g(x)=(x-a{)}^2-x(0\le x\le 1)$$の値域に入ることである。
$g(x)=(x-a-1\mathrm{/}2{)}^2-a-1\mathrm{/}4$であり，$g(0)=a^2$，$g(1)=a^2-2a$。
$0\le a\le 1$より最大値は$a^2$である。
最小値は，頂点が区間内にある$0\le a\le 1\mathrm{/}2$では$-a-1\mathrm{/}4$，
頂点が右側にある$1\mathrm{/}2\le a\le 1$では$a^2-2a$となる。
よって$OP$との共有点がある条件は$$\{\begin{array}{ll}-a-1\mathrm{/}4\le b\le a^2& (0\le a\le 1\mathrm{/}2),\\ a^2-2a\le b\le a^2& (1\mathrm{/}2\le a\le 1)\mathrm{.}\end{array}\text{(1)}$$一方，線分$AB$は$y=x+1$，$-1\le x\le 0$で表される。
ここでは$h(x)=(x-a{)}^2-x-1$の値域を調べる。
頂点$x=a+1\mathrm{/}2$は区間の右側にあるので，$h$はこの区間で減少する。
端点の値は$h(0)=a^2-1$，$h(-1)=(a+1{)}^2$であるから，条件は$$a^2-1\le b\le (a+1{)}^2\mathrm{.}\text{(2)}$$$a^2\le (a+1{)}^2$である。また$$(a^2-1)-(-a-1\mathrm{/}4)=(a-1\mathrm{/}2)(a+3\mathrm{/}2)$$なので，$a\le 1\mathrm{/}2$では$-a-1\mathrm{/}4$の方が大きい。
$a\ge 1\mathrm{/}2$では$(a^2-1)-(a^2-2a)=2a-1\ge 0$である。
よって(1)，(2)の共通部分は$$\{\begin{array}{ll}-a-1\mathrm{/}4\le b\le a^2& (0\le a\le 1\mathrm{/}2),\\ a^2-1\le b\le a^2& (1\mathrm{/}2\le a\le 1)\mathrm{.}\end{array}$$この条件を満たせば，それぞれの関数の値域に$b$が入るので，両方の線分と共有点をもつ。
したがって$E$は次の色を付けた領域であり，境界をすべて含む。

判別式と小さい解の位置を使って共有点を判定する。

$OP$との交点の方程式は$x^2-(2a+1)x+a^2-b=0$。
判別式は$D=4a+1+4b$である。
$b>a^2$なら小さい解は負，大きい解は$2a+1$より大きくなるので，$[0,1]$に解はない。
$b\le a^2$かつ$D\ge 0$なら，小さい解$$x_{-}=\frac{2a+1-\sqrt{D}}{2}$$は非負である。この解が1以下となる条件は$\sqrt{D}\ge 2a-1$。
$a\le 1\mathrm{/}2$ではこれは自動的に成立し，$D\ge 0$から$b\ge -a-1\mathrm{/}4$を得る。
$a\ge 1\mathrm{/}2$では二乗して$b\ge a^2-2a$を得る。
$x_{-}>1$なら大きい解も1より大きいので，他の場合はない。
$AB$については答案と同じ単調性で$a^2-1\le b\le (a+1{)}^2$を得て，共通部分を取ればよい。

例えば$a=0,b=-1\mathrm{/}8$では，$OP$との差$x^2-x+1\mathrm{/}8$は両端で正だが，区間内に二つの零点をもつ。
端点の符号が違うことは共有点の十分条件であり，必要条件にはならない。