東北大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=k{e}^{-x}x(2-x)$である。
接点を$(t,t)$とすると$t\mathrm{\ne }0$であり，$$k{t}^2{e}^{-t}=t,kt{e}^{-t}(2-t)=1.$$最初の式から$kt{e}^{-t}=1$なので，次の式に代入して$2-t=1$。
よって$t=1$であり，k=eとなる。
逆に$k=e$では$f(1)=f^{\mathrm{\prime }}(1)=1$なので確かに接している。

(2) $f(x)=x^2{e}^{1-x}$として$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{1-x}x(2-x),$$$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^{1-x}(x^2-4x+2)\mathrm{.}$$増減は$x<0$で減少，$0<x<2$で増加，$x>2$で減少。
したがって$x=0$で極小値0，$x=2$で極大値4/eを取る。

$\alpha =2-\sqrt{2}$，$\beta =2+\sqrt{2}$とおく。
$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$は$x<\alpha$と$x>\beta$で正，$\alpha <x<\beta$で負。
よって前者で下に凸，後者で上に凸となる。
変曲点は$$I_1=(\alpha ,(6-4\sqrt{2})e^{-1+\sqrt{2}}),$$$$I_2=(\beta ,(6+4\sqrt{2})e^{-1-\sqrt{2}})\mathrm{.}$$その高さの比は$$\frac{f(\beta )}{f(\alpha )}=(17+12\sqrt{2})e^{-2\sqrt{2}}\mathrm{.}$$$\sqrt{2}>1$，$2\sqrt{2}<3$，$e<3$より$$17+12\sqrt{2}>29>27>e^3>e^{2\sqrt{2}}\mathrm{.}$$したがってf(β)>f(α)である。

$x\to +\mathrm{\infty }$では$f(x)\to 0$なので，漸近線はy=0。
$x\to -\mathrm{\infty }$では$f(x)\to +\mathrm{\infty }$かつ$f(x)\mathrm{/}x\to -\mathrm{\infty }$であり，直線の漸近線はない。
有限の$x$で連続なので垂直な漸近線もない。概形は解説の図のとおりである。

(3) $x<0$では$f(x)>x$であり，$x=0$は共有点である。
$x>0$では$h(x)=x{e}^{1-x}$とおくと$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{1-x}(1-x)\mathrm{.}$$よって$h$の最大値は$h(1)=1$で，等号は$x=1$のみ。
したがって正の共有点は$x=1$のみで，$0<x<1$では$f(x)<x$である。
求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^1(x-x^2{e}^{1-x})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}+{[e^{1-x}(x^2+2x+2)]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{11}{2}-2e\mathrm{.}}\end{array}$$

関数と直線の比で接点を調べ、部分積分で面積を求める。

接点の$x$座標$t$は正である。$x>0$で$R(x)=f(x)\mathrm{/}x=kx{e}^{-x}$とすると，接点では$R(t)=1$，$R^{\mathrm{\prime }}(t)=0$が必要になる。
$R^{\mathrm{\prime }}(x)=k{e}^{-x}(1-x)$から$t=1$，さらに$k=e$を得る。
逆に$R$が$x=1$で最大値1を取れば，$f(1)=1$かつ$f^{\mathrm{\prime }}(1)=1$なので十分でもある。

面積の計算では$J_r={\int }_0^1{x}^r{e}^{-x}dx$とおく。
$J_0=1-e^{-1}$であり，部分積分から$$J_1=-e^{-1}+J_0=1-2e^{-1},$$$$J_2=-e^{-1}+2J_1=2-5e^{-1}\mathrm{.}$$よって$S=1\mathrm{/}2-e{J}_2=11\mathrm{/}2-2e$となる。

接点と共有点は区別する。原点では両グラフは交わるが，傾きが異なっている。