東北大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) $2\le r\le n$より$$\frac{{}_n{\mathrm{C}}_r}{n^r}=\frac{1}{r!}(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{r-1}{n})\mathrm{.}$$各因子は正で1以下，最初の因子$1-1\mathrm{/}n$は1より小さい。
よって積は1より小さく，$$\frac{{}_n{\mathrm{C}}_r}{n^r}<\frac{1}{r!}\mathrm{.}$$(2) 二項定理より$${(1+\frac{1}{n})}^n=1+1+\sum _{r=2}^n\frac{{}_n{\mathrm{C}}_r}{n^r}\mathrm{.}$$(1)を各項に適用すれば$${(1+\frac{1}{n})}^n<2+\sum _{r=2}^n\frac{1}{r!}\mathrm{.}$$これは示すべき不等式である。

(3) $r\ge 3$では，$r!=2\cdot 3\cdot 4\cdots r$の3以降の因子がすべて3以上なので$$r!\ge 2\cdot 3^{r-2},\frac{1}{r!}\le \frac{1}{2\cdot 3^{r-2}}\mathrm{.}$$有限等比数列の和から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{r=3}^n\frac{1}{r!}}& {\displaystyle \le \frac{1}{6}\sum _{j=0}^{n-3}{\left(\frac{1}{3}\right)}^j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}(1-\frac{1}{3^{n-2}})\mathrm{.}}\end{array}$$これを(2)に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {(1+\frac{1}{n})}^n}& {\displaystyle <2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}(1-\frac{1}{3^{n-2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}(11-\frac{1}{3^{n-2}})\mathrm{.}}\end{array}$$

二項展開の隣り合う項の比で直接上から評価する。

$T_r={}_n{\mathrm{C}}_r\mathrm{/}{n}^r$とおく。$T_0=T_1=1$，$T_2=(n-1)\mathrm{/}(2n)<1\mathrm{/}2$であり，$$\frac{T_{r+1}}{T_r}=\frac{n-r}{n(r+1)}<\frac{1}{r+1}(1\le r<n)\mathrm{.}$$したがって$T_r<1\mathrm{/}r!$（$2\le r\le n$）を順に得る。
さらに$T_3<1\mathrm{/}6$で，$r\ge 3$では$T_{r+1}\mathrm{/}{T}_r<1\mathrm{/}3$なので$$T_r<\frac{1}{6}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{r-3}(3\le r\le n)\mathrm{.}$$よって展開式を直接評価して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {(1+\frac{1}{n})}^n}& {\displaystyle <2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sum _{j=0}^{n-3}{3}^{-j}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}(11-3^{-(n-2)})\mathrm{.}}\end{array}$$隣接項の比を使う方法では，階乗の和を経由せず，二項展開の各項を等比数列で評価している。