東北大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

$\zeta =\cos (2\pi \mathrm{/}5)+i\sin (2\pi \mathrm{/}5)$とおく。
五つの頂点を表す複素数の集合は$1,\zeta ,{\zeta }^2,{\zeta }^3,{\zeta }^4$である。
これらは互いに異なり，五乗すると1になるので，因数定理より$$(z-1)(z-\zeta )(z-{\zeta }^2)(z-{\zeta }^3)(z-{\zeta }^4)=z^5-1.$$点$P$を$z=\cos \theta +i\sin \theta$と表すと，問題の距離の積は$$\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z-\zeta \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z-{\zeta }^2\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z-{\zeta }^3\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z-{\zeta }^4\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}^5-1\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$したがって条件は$\mathrm{\mid }{z}^5-1\mathrm{\mid }=1$と同値である。
ド・モアブルの定理より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{z}^5-1{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(\cos 5\theta -1{)}^2+{\sin }^{2}5\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-2\cos 5\theta \mathrm{.}}\end{array}$$よって$\cos 5\theta =1\mathrm{/}2$であり，
$5\theta =2j\pi \pm \pi \mathrm{/}3$（$j$は整数）となる。
$0\le 5\theta <10\pi$に入るものを選ぶと，求める角度は$$\theta =\frac{(6j+1)\pi }{15}$$または$$\theta =\frac{(6j+5)\pi }{15}(j=0,1,2,3,4)\mathrm{.}$$これらの10個は互いに異なり，逆にどれも元の距離の積を1にする。

五乗した点を二つの単位円の交点として求める。

$w=z^5=u+iv$とおく。条件は$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$，$\mathrm{\mid }w-1\mathrm{\mid }=1$となる。
二つの円の式$$u^2+v^2=1,(u-1{)}^2+v^2=1$$を引くと$u=1\mathrm{/}2$。よって$v=\pm \sqrt{3}\mathrm{/}2$であり，$w$の偏角は$\pm \pi \mathrm{/}3$となる。
これを五つずつの角度に戻すと答案と同じ10個の$\theta$を得る。

距離の積を一つの絶対値にまとめる操作は，正多角形の頂点を根にもつ多項式と相性がよい。