東北大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

加法定理によって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sin (a+x)+\cos (b+x)=}& {\displaystyle (\sin a+\cos b)\cos x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(\cos a-\sin b)\sin x\mathrm{.}}\end{array}$$商が有限値に収束するなら，分子は0に収束するので$$\sin a+\cos b=0.\text{(1)}$$逆に(1)のもとでは$\sin x\mathrm{/}x\to 1$より，極限は$$k=\cos a-\sin b\mathrm{.}\text{(2)}$$(1)から${\sin }^{2}b={\cos }^{2}a$である。$\sin b=\cos a$なら$k=0$なので不適。
よって$$\sin b=-\cos a,k=2\cos a\mathrm{.}$$$0<k\le 2$であり，$k$は整数だから$k=1$または$k=2$である。

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・$k=2$のとき，$a=0$である。(1)と$\sin b=-1$から$b=3\pi \mathrm{/}2$。

・$k=1$のとき，$a=\pi \mathrm{/}3$または$5\pi \mathrm{/}3$。
それぞれ$b=7\pi \mathrm{/}6$，$11\pi \mathrm{/}6$である。

どの組も(1)を満たし，(2)が正の整数になる。したがって求める組は$$\begin{array}{c}{\displaystyle (a,b)=(0,\frac{3\pi }{2}),}\\ {\displaystyle (\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{6}),(\frac{5\pi }{3},\frac{11\pi }{6})\mathrm{.}}\end{array}$$

主解と異なる見方による補足。

$\cos b=-\sin a=\cos (a+\pi \mathrm{/}2)$より，$2\pi$の整数倍を除けば$$b=a+\frac{\pi }{2}\text{または}b=\frac{3\pi }{2}-a\mathrm{.}$$前者では$\sin b=\cos a$となり，極限は0。
後者では$\sin b=-\cos a$となり，極限は$2\cos a$。
後者だけを残し，$2\cos a=1,2$を解いても同じ三組を得る。

有限な極限を確かめる前に分子を微分してはいけない。
ここでは加法定理だけで，極限が存在する条件とその値をともに求められる。