東北大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

一回の移動について，$A$が$+$となる確率は$1\mathrm{/}2$，$B$は$1\mathrm{/}3$，$C$は$1\mathrm{/}2$である。
$A,B$の移動の同時確率は$$\begin{array}{ccc}& B:+& B:-\\ A:+& 1\mathrm{/}6& 1\mathrm{/}3\\ A:-& 1\mathrm{/}6& 1\mathrm{/}3\end{array}$$であり，各確率が周辺確率の積なので独立である。
試行間も独立，かつ$C$は別のさいころで動くので，$a_n,b_n,c_n$は互いに独立。

(1) 二回後の位置の確率は$$\begin{array}{cccc}\text{位置}& -2& 0& 2\\ a_2,c_2& 1\mathrm{/}4& 1\mathrm{/}2& 1\mathrm{/}4\\ b_2& 4\mathrm{/}9& 4\mathrm{/}9& 1\mathrm{/}9\end{array}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{Pr}(a_2=b_2)}& {\displaystyle =\frac{1}{4}\frac{4}{9}+\frac{1}{2}\frac{4}{9}+\frac{1}{4}\frac{1}{9}=\frac{13}{36},}\\ {\displaystyle \mathrm{Pr}(a_2=b_2=c_2)}& {\displaystyle ={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\frac{4}{9}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\frac{4}{9}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2\frac{1}{9}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{7}{48}\mathrm{.}}\end{array}$$(2) 座標が$n-2$となるには，$n$回中ちょうど一回だけ負の向きに進めばよい。
$A,C$では各向きの確率が$1\mathrm{/}2$なので$$\mathrm{Pr}(a_n=n-2)=\mathrm{Pr}(c_n=n-2)=\frac{n}{2^n}\mathrm{.}$$(3) 同様に$$\mathrm{Pr}(b_n=n-2)=n{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\frac{2}{3}=\frac{2n}{3^n}\mathrm{.}$$独立性より$$p=\frac{n}{2^n}\frac{2n}{3^n},q={\left(\frac{n}{2^n}\right)}^2>0.$$したがって$$\frac{p}{q}=2{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\mathrm{.}$$

主解と異なる見方による補足。

(3) の$p$について，$A,B$それぞれが負へ動く回が一回だけとなる$X$の列を数える。

[leftmargin=1.5em]

・同じ回に両方が負へ動く場合，その回は$n$通り，出目は1，5の二通り。他の回はすべて6なので，$2n$通り。

・別の回に負へ動く場合，二つの回の選び方は$n(n-1)$通り。
$A$だけが負の回の出目は3，$B$だけが負の回の出目は2，4。他は6なので，$2n(n-1)$通り。

全部で$2n^2$通りとなり，$p=2n^2\mathrm{/}{6}^n$を得る。
$A,C$は別のさいころで動くから$q=n^2\mathrm{/}{4}^n$であり，答案と同じ比になる。

同じさいころを使っていても，この問題では独立性が成り立つ。
例えば「偶数」と「4以上」なら独立にはならないので，出目の分類を変えた問題へそのまま結論を持ち込めない。