東京大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

行列 $A$ は、複素数 $z=x+iy$ に対して $z\mapsto (-1+\sqrt{3}i)z$ を行う変換と同じである。ここで $$-1+\sqrt{3}i=2(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$$ であるから $$x_n+i{y}_n=2^n(\cos {\displaystyle \frac{2n\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{2n\pi }{3}})$$ である。

点 $(x_n,y_n)$ と $(a,0)$ との距離の2乗は $$d_n^2=(x_n-a{)}^2+y_n^2=x_n^2+y_n^2-2a{x}_n+a^2$$ である。$x_n^2+y_n^2=4^n$ だから $d_n^2=4^n-2a{x}_n+a^2$ である。したがって $$d_{n+1}^2-d_n^2=3\cdot 4^n-2a(x_{n+1}-x_n)$$ となる。$d_n,d_{n+1}$ は距離で非負なので、$d_{n+1}>d_n$ は $d_{n+1}^2-d_n^2>0$ と同値である。 $x_n=2^n\cos (2n\pi \mathrm{/}3)$ を3つの場合に分ける。 $n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のとき $$x_n=2^n,x_{n+1}=-2^n$$ なので $x_{n+1}-x_n=-2^{n+1}$ である。よって $$3\cdot 4^n+2a\cdot 2^{n+1}>0$$ となり、$a>-3\cdot 2^{n-2}$ を得る。この範囲で最も厳しいのは最小の $n=3$ から $a>-6$ である。 $n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のとき $x_{n+1}-x_n=-2^{n-1}$ であり、同様に $a>-3\cdot 2^n$ を得る。最も厳しいのは $n=1$ で、やはり $a>-6$ である。 $n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のとき $$x_{n+1}-x_n=5\cdot 2^{n-1}$$ であるから $$3\cdot 4^n-10a\cdot 2^{n-1}>0$$ となる。したがって $$a<{\displaystyle \frac{3}{5}}{2}^n$$ である。この範囲で最も厳しいのは $n=2$ から $$a<{\displaystyle \frac{12}{5}}$$ である。

以上を合わせて、求める範囲は $$-6<a<{\displaystyle \frac{12}{5}}$$ である。

行列を直接掛けて $A^3=8I$ を確認し、$n$ を3で割った余りごとに
$(x_n,y_n)$ を求める。距離の2乗差の最も厳しい最初の条件を比較する。

直接計算すると$$A^2=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\sqrt{3}\\ -2\sqrt{3}& -2\end{array}\right),A^3=8I\mathrm{.}$$したがって $n=3m,3m+1,3m+2$ に応じて$$(x_n,y_n)=\{\begin{array}{ll}(2^n,0)& (n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)),\\ (-2^{n-1},\sqrt{3}{2}^{n-1})& (n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)),\\ (-2^{n-1},-\sqrt{3}{2}^{n-1})& (n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3))\mathrm{.}\end{array}$$$$d_n^2=4^n-2a{x}_n+a^2$$だから$$d_{n+1}^2-d_n^2=3\cdot 4^n-2a(x_{n+1}-x_n)\mathrm{.}$$3つの剰余類で調べると$$\begin{array}{ccc}n<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>3& x_{n+1}-x_n& \text{必要条件}\\ 0& -2^{n+1}& a>-3\cdot 2^{n-2}\\ 1& -2^{n-1}& a>-3\cdot 2^n\\ 2& 5\cdot 2^{n-1}& a<{\displaystyle \frac{3}{5}}{2}^n\end{array}$$となる。各列で最も厳しい最初の $n$ はそれぞれ $3,1,2$ なので$$-6<a<{\displaystyle \frac{12}{5}}\mathrm{.}$$