東京大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

共通接線を $y=mx+b$ とおく。まず $C_1:y=2x^2+1$ に接する条件を求める。交点は $2x^2+1=mx+b$ すなわち $2x^2-mx+(1-b)=0$ であり、接するためには判別式が0であればよい。よって $m^2-8(1-b)=0$ から $$b=1-{\displaystyle \frac{m^2}{8}}$$ である。

次に $C_2:y=-x^2+c$ に接する条件は $-x^2+c=mx+b$ すなわち $x^2+mx+(b-c)=0$ が重解をもつことである。よって $m^2-4(b-c)=0$ から $$b=c+{\displaystyle \frac{m^2}{4}}$$ である。

2つの $b$ が等しいので $$1-{\displaystyle \frac{m^2}{8}}=c+{\displaystyle \frac{m^2}{4}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{3m^2}{8}}=1-c$$ となり、$$m=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{8(1-c)}{3}}}$$ である。また $$b={\displaystyle \frac{c+2}{3}}$$ である。よって共通接線は $$y=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{8(1-c)}{3}}}x+{\displaystyle \frac{c+2}{3}}$$ である。

ここで $$k=\sqrt{{\displaystyle \frac{8(1-c)}{3}}}$$ とおく。$k>0$ であり、2本の接線は $$y=\pm kx+1-{\displaystyle \frac{k^2}{8}}$$ である。 $C_1$ と2本の接線で囲まれる部分は対称である。右半分では、上が $C_1$、下が接線 $y=kx+1-k^2\mathrm{/}8$ で、接点は $x=k\mathrm{/}4$ である。したがって$$S_1=2{\int }_0^{k\mathrm{/}4}\{2x^2+1-(kx+1-{\displaystyle \frac{k^2}{8}})\}dx$$である。中身は $$2x^2-kx+{\displaystyle \frac{k^2}{8}}=2{(x-{\displaystyle \frac{k}{4}})}^2$$ だから$$S_1=2{\int }_0^{k\mathrm{/}4}2{(x-{\displaystyle \frac{k}{4}})}^{2}dx={\displaystyle \frac{k^3}{48}}$$である。

同様に、$C_2$ と2本の接線で囲まれる部分の右半分では、上が接線 $y=-kx+c+k^2\mathrm{/}4$、下が $C_2$ で、接点は $x=k\mathrm{/}2$ である。よって$$S_2=2{\int }_0^{k\mathrm{/}2}\{-kx+c+{\displaystyle \frac{k^2}{4}}-(-x^2+c)\}dx$$である。中身は $$x^2-kx+{\displaystyle \frac{k^2}{4}}={(x-{\displaystyle \frac{k}{2}})}^2$$ なので$$S_2=2{\int }_0^{k\mathrm{/}2}{(x-{\displaystyle \frac{k}{2}})}^{2}dx={\displaystyle \frac{k^3}{12}}$$である。したがって $${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。

$C_1$ 上の接点を $x=r$、$C_2$ 上の接点を $x=s$ とし、
接線の傾きと切片を一致させる。面積は接線との差が接点からの平方になることを使う。

$C_1$ の $x=r$ における接線は$$y=4rx+1-2r^2\mathrm{.}$$$C_2$ の $x=s$ における接線は$$y=-2sx+c+s^2\mathrm{.}$$同じ直線になる条件は$$4r=-2s,1-2r^2=c+s^2\mathrm{.}$$よって $s=-2r$、$6r^2=1-c$ である。$$r=\pm \sqrt{(1-c)\mathrm{/}6}$$ を取るから、
傾き $4r$ と切片 $1-2r^2$ を用いて$$y=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{8(1-c)}{3}}}x+{\displaystyle \frac{c+2}{3}}\mathrm{.}$$$r>0$ とする。$C_1$ と右側の接線との差は$$2x^2+1-(4rx+1-2r^2)=2(x-r{)}^2\mathrm{.}$$したがって$$S_1=2{\int }_0^{r}2(x-r{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{4r^3}{3}}\mathrm{.}$$$C_2$ 側では右の接点が $x=2r$ で、接線と放物線との差は$$(x-2r{)}^2\mathrm{.}$$よって$$S_2=2{\int }_0^{2r}(x-2r{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{16r^3}{3}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$