東京大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

まず $p\mathrm{\ne }0$ の場合を考える。方程式を $p$ で割ると $$x^2+\frac{p^2-q}{p}x+\frac{-2p+q+1}{p}=0$$ である。

ここで，一般に実係数方程式 $x^2+Bx+C=0$ の2つの解の実部がともに負であるための必要十分条件は $B>0,C>0$ である。実数解をもつときは，2解の和が $-B$，積が $C$ であるから，両方が負であることと同値である。実数でない解をもつときは，2解の実部はいずれも $-B\mathrm{/}2$ であり，このとき $C$ は正である。

したがって $p\mathrm{\ne }0$ では $$\frac{p^2-q}{p}>0,\frac{-2p+q+1}{p}>0$$ が必要十分条件である。 $p>0$ のときは $q<p^2,q>2p-1$ となるので $2p-1<q<p^2$ である。この範囲は $p=1$ では空であるが，不等式そのものがそのことを含んでいる。 $p<0$ のときは不等式の向きが反対になり $q>p^2,q<2p-1$ となる。しかし $p<0$ では $p^2>0$，$2p-1<0$ なので，これを同時に満たす $q$ は存在しない。

次に $p=0$ の場合を考える。このとき方程式は $-qx+q+1=0$ である。$q=0$ なら $1=0$ となり解をもたない。$q\mathrm{\ne }0$ なら解は $$x=\frac{q+1}{q}$$ であり，この実数が負である条件は $$\frac{q+1}{q}<0$$ である。よって $-1<q<0$ である。

以上より，求める範囲は $${\displaystyle p>0,2p-1<q<p^2}$$ で表される部分と，$${\displaystyle p=0,-1<q<0}$$ で表される線分である。図示では，放物線 $q=p^2$ と直線 $q=2p-1$ の間で $p>0$ の部分を境界を含めずに塗り，さらに $q$ 軸上の $-1<q<0$ の開線分を加える。